求极限lim _(narrow infty )[ dfrac (1)(1times 3)+dfrac (1)(3times 5)+... +dfrac (1)((2n-1)(2n+1))]

步骤 1：观察通项
观察通项 $\dfrac {1}{(2n-1)(2n+1)}$，可以发现它可以通过部分分式分解为两个分数的差，即 $\dfrac {1}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{2n-1} - \dfrac {1}{2n+1})$。
步骤 2：应用部分分式分解
将通项 $\dfrac {1}{(2n-1)(2n+1)}$ 分解为 $\dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{2n-1} - \dfrac {1}{2n+1})$，并将其代入原极限表达式中。
步骤 3：计算极限
计算极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }$ $[ 1-\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{5}+\cdots +\dfrac {1}{2n-1}-\dfrac {1}{2n+1}]$，注意到这是一个交错级数，其中大部分项相互抵消，仅剩下第一项和最后一项。
步骤 4：简化极限表达式
简化极限表达式 $\dfrac {1}{2}\lim _{n\rightarrow \infty }(1-\dfrac {1}{2n+1})$，注意到当 $n$ 趋于无穷大时，$\dfrac {1}{2n+1}$ 趋于0。