题目
(5) lim _(xarrow -1)dfrac (sqrt {x+5)-2}(x+1):
题目解答
答案
解析
步骤 1：有理化分子
为了消除根号，我们可以通过乘以分子和分母的共轭来有理化分子。分子的共轭是 $\sqrt{x+5}+2$。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {\sqrt {x+5}-2}{x+1} = \lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {(\sqrt {x+5}-2)(\sqrt {x+5}+2)}{(x+1)(\sqrt {x+5}+2)}$$
步骤 2：简化表达式
分子可以简化为 $(x+5)-4$，即 $x+1$。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {x+1}{(x+1)(\sqrt {x+5}+2)}$$
步骤 3：消去公因子
由于 $x+1$ 在分子和分母中都存在，我们可以消去这个公因子，得到：
$$\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {1}{\sqrt {x+5}+2}$$
步骤 4：代入 $x = -1$
将 $x = -1$ 代入上述表达式，得到：
$$\dfrac {1}{\sqrt {-1+5}+2} = \dfrac {1}{\sqrt {4}+2} = \dfrac {1}{2+2} = \dfrac {1}{4}$$
为了消除根号，我们可以通过乘以分子和分母的共轭来有理化分子。分子的共轭是 $\sqrt{x+5}+2$。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {\sqrt {x+5}-2}{x+1} = \lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {(\sqrt {x+5}-2)(\sqrt {x+5}+2)}{(x+1)(\sqrt {x+5}+2)}$$
步骤 2：简化表达式
分子可以简化为 $(x+5)-4$，即 $x+1$。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {x+1}{(x+1)(\sqrt {x+5}+2)}$$
步骤 3：消去公因子
由于 $x+1$ 在分子和分母中都存在，我们可以消去这个公因子，得到：
$$\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {1}{\sqrt {x+5}+2}$$
步骤 4：代入 $x = -1$
将 $x = -1$ 代入上述表达式，得到：
$$\dfrac {1}{\sqrt {-1+5}+2} = \dfrac {1}{\sqrt {4}+2} = \dfrac {1}{2+2} = \dfrac {1}{4}$$