题目
计算 lim _(xarrow infty )((1+dfrac {2)(x))}^3x
题目解答
答案
解析
步骤 1：将给定的极限表达式重写为指数形式
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{x})}^{3x}$。首先，我们注意到这个表达式与自然对数的底数 $e$ 的定义形式相似，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{x} = e$。为了将给定的表达式转换为这种形式，我们首先将指数 $3x$ 分解为 $x$ 和 $3$ 的乘积，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{x})}^{x \cdot 3}$。
步骤 2：将表达式转换为 $e$ 的形式
接下来，我们注意到 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{x})}^{x}$ 可以通过将 $\dfrac{2}{x}$ 替换为 $\dfrac{1}{\frac{x}{2}}$ 来转换为 $e$ 的形式，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{\frac{x}{2}})}^{\frac{x}{2} \cdot 2} = e^2$。因此，原表达式可以写为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{x})}^{x \cdot 3} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{\frac{x}{2}})}^{\frac{x}{2} \cdot 2 \cdot 3} = e^{2 \cdot 3}$。
步骤 3：计算最终结果
根据上述步骤，我们得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{x})}^{3x} = e^{2 \cdot 3} = e^6$。
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{x})}^{3x}$。首先，我们注意到这个表达式与自然对数的底数 $e$ 的定义形式相似，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{x} = e$。为了将给定的表达式转换为这种形式，我们首先将指数 $3x$ 分解为 $x$ 和 $3$ 的乘积，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{x})}^{x \cdot 3}$。
步骤 2：将表达式转换为 $e$ 的形式
接下来，我们注意到 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{x})}^{x}$ 可以通过将 $\dfrac{2}{x}$ 替换为 $\dfrac{1}{\frac{x}{2}}$ 来转换为 $e$ 的形式，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{\frac{x}{2}})}^{\frac{x}{2} \cdot 2} = e^2$。因此，原表达式可以写为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{x})}^{x \cdot 3} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{\frac{x}{2}})}^{\frac{x}{2} \cdot 2 \cdot 3} = e^{2 \cdot 3}$。
步骤 3：计算最终结果
根据上述步骤，我们得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{x})}^{3x} = e^{2 \cdot 3} = e^6$。