9.已知f(x)在 x=0 处连续,且 lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2}(f(x))=1, 则下列结论-|||-①f`(0)存在,且 '(0)=0. ②f"(0)存在,且 '(0)=2.-|||-③f(x)在 x=0 处取得极小值. ④f(x)在 x=0 的某邻域内连续.-|||-中正确的个数为A.1B.2C.3D.4

步骤 1：分析 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}}{f(x)}=1$
由题意，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}}{f(x)}=1$，可以推出 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x) = \lim _{x\rightarrow 0}x^2 = 0$，即 $f(0) = 0$。这说明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

步骤 2：分析 $f'(0)$
由洛必达法则，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}}{f(x)}=1$ 可以推出 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x}{f'(x)}=1$，即 $\lim _{x\rightarrow 0}f'(x) = 2x$。因此，$f'(0) = 0$，说明 $f'(0)$ 存在且等于 $0$。

步骤 3：分析 $f''(0)$
再次应用洛必达法则，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x}{f'(x)}=1$ 可以推出 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{f''(x)}=1$，即 $\lim _{x\rightarrow 0}f''(x) = 2$。因此，$f''(0) = 2$，说明 $f''(0)$ 存在且等于 $2$。

步骤 4：分析 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的极值
由于 $f'(0) = 0$ 且 $f''(0) = 2 > 0$，根据二阶导数的符号，$f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值。

步骤 5：分析 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内的连续性
由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $f'(0)$ 和 $f''(0)$ 存在，说明 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续。