题目
int f(x), dx = xe^x + C，则 int f(2x), dx = ( ) A. 2xe^2x + CB. 2xe^x + CC. xe^x + CD. xe^2x + C
$\int f(x)\, dx = xe^x + C$，则 $\int f(2x)\, dx = (\quad)$
- A. $2xe^{2x} + C$
- B. $2xe^x + C$
- C. $xe^x + C$
- D. $xe^{2x} + C$
题目解答
答案
为了求解 $\int f(2x) \, dx$，我们首先需要确定 $f(x)$ 的表达式。根据题目，我们知道 $\int f(x) \, dx = xe^x + C$。对两边求导，我们可以得到 $f(x)$：
\[
f(x) = \frac{d}{dx}(xe^x + C) = e^x + xe^x = (x+1)e^x
\]
现在，我们需要求 $\int f(2x) \, dx$。将 $f(x)$ 中的 $x$ 替换为 $2x$，我们得到：
\[
f(2x) = (2x+1)e^{2x}
\]
因此，我们需要求解的积分是：
\[
\int (2x+1)e^{2x} \, dx
\]
我们可以使用分部积分法来求解这个积分。设 $u = 2x + 1$ 和 $dv = e^{2x} \, dx$。则 $du = 2 \, dx$ 和 $v = \frac{1}{2}e^{2x}$。根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们有：
\[
\int (2x+1)e^{2x} \, dx = (2x+1) \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 2 \, dx
\]
简化右边的表达式，我们得到：
\[
\int (2x+1)e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}(2x+1)e^{2x} - \int e^{2x} \, dx
\]
再次求解积分 $\int e^{2x} \, dx$，我们得到：
\[
\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x}
\]
将这个结果代回表达式中，我们有：
\[
\int (2x+1)e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}(2x+1)e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x} + C
\]
合并同类项，我们得到：
\[
\int (2x+1)e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}(2x+1)e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x} + C = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot e^{2x} + C = xe^{2x} + C
\]
因此，答案是：
\[
\boxed{D}
\]
解析
考查要点：本题主要考查不定积分的求解方法，特别是通过已知积分结果反推原函数，再结合变量替换和分部积分法进行计算。
解题核心思路：
- 确定原函数：根据已知积分结果 $\int f(x) \, dx = xe^x + C$，对两边求导得到 $f(x)$。
- 变量替换：将 $f(x)$ 中的 $x$ 替换为 $2x$，得到 $f(2x)$。
- 分部积分法：对被积函数 $(2x+1)e^{2x}$ 进行分部积分，逐步化简求解。
破题关键点：
- 导数与积分的关系：通过求导确定原函数 $f(x)$。
- 变量替换后的积分处理：注意替换后被积函数的结构，选择合适的分部积分策略。
步骤1：求原函数 $f(x)$
已知 $\int f(x) \, dx = xe^x + C$，对两边求导得：
$f(x) = \frac{d}{dx}(xe^x + C) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$
步骤2：求 $f(2x)$
将 $x$ 替换为 $2x$，得：
$f(2x) = (2x+1)e^{2x}$
步骤3：分部积分求 $\int (2x+1)e^{2x} \, dx$
设 $u = 2x+1$，$dv = e^{2x} \, dx$，则 $du = 2 \, dx$，$v = \frac{1}{2}e^{2x}$。根据分部积分公式：
$\begin{aligned}\int (2x+1)e^{2x} \, dx &= (2x+1) \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 2 \, dx \\&= \frac{1}{2}(2x+1)e^{2x} - \int e^{2x} \, dx \\&= \frac{1}{2}(2x+1)e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x} + C \\&= \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot e^{2x} + C \\&= xe^{2x} + C\end{aligned}$