lim _(xarrow 1)(e)^dfrac (1{x-1)}=

本题考查极限的左右极限计算，特别是涉及指数函数与分式结合的未定式。解题核心在于：

1. 分情况讨论当$x$从右侧趋近于1（$x \to 1^+$）和左侧趋近于1（$x \to 1^-$）时，表达式的行为；
2. 处理未定式$0 \cdot (-\infty)$时，通过变量代换和等价无穷小分析极限值；
3. 判断极限是否存在：若左右极限不相等，则原极限不存在。

当$x \to 1^+$时

1. 变量代换：令$t = x - 1$，则$t \to 0^+$；
2. 表达式变形：
   $e^{\dfrac{1}{x-1}} \cdot \dfrac{1}{x-1} = e^{\dfrac{1}{t}} \cdot \dfrac{1}{t}$
3. 分析趋势：
   • $\dfrac{1}{t} \to +\infty$；
   • $e^{\dfrac{1}{t}} \to +\infty$；
   • 乘积结果：$+\infty \cdot +\infty = +\infty$；
4. 结论：
   $\lim_{x \to 1^+} e^{\dfrac{1}{x-1}} \cdot \dfrac{1}{x-1} = +\infty$

当$x \to 1^-$时

1. 变量代换：令$t = x - 1$，则$t \to 0^-$；
2. 表达式变形：
   $e^{\dfrac{1}{x-1}} \cdot \dfrac{1}{x-1} = e^{\dfrac{1}{t}} \cdot \dfrac{1}{t}$
3. 分析趋势：
   • $\dfrac{1}{t} \to -\infty$；
   • $e^{\dfrac{1}{t}} = e^{-\infty} \to 0$；
   • 未定式：$0 \cdot (-\infty)$；
4. 等价无穷小分析：
   令$s = -t$（$s \to 0^+$），则表达式变为：
   $e^{-\dfrac{1}{s}} \cdot \left(-\dfrac{1}{s}\right) = -\dfrac{e^{-\dfrac{1}{s}}}{s}$
   • $e^{-\dfrac{1}{s}}$衰减速度远快于$\dfrac{1}{s}$增长；
   • 极限值：$\lim_{s \to 0^+} -\dfrac{e^{-\dfrac{1}{s}}}{s} = 0$；
5. 结论：
   $\lim_{x \to 1^-} e^{\dfrac{1}{x-1}} \cdot \dfrac{1}{x-1} = 0$

综合判断

• 左极限为0，右极限为$+\infty$；
• 左右极限不相等，因此原极限不存在。