题目
注 类似地，函数f(x)=int_(x)^x+1|t(t^2-1)|dt的最小值为______.
注 类似地，
函数$f(x)=\int_{x}^{x+1}|t(t^{2}-1)|dt$的最小值为______.
题目解答
答案
求导得：
\[
f'(x) = |(x+1)(x+2)x| - |x(x+1)(x-1)| = |x(x+1)| \left( |x+2| - |x-1| \right).
\]
令 $ f'(x) = 0 $，解得 $ x = -1, -\frac{1}{2}, 0 $。
计算各点函数值：
- 当 $ x = -1 $ 时，
\[
f(-1) = \int_{-1}^0 (-t^3 + t) \, dt = -\frac{1}{4}.
\]
- 当 $ x = 0 $ 时，
\[
f(0) = \int_0^1 (-t^3 + t) \, dt = \frac{1}{4}.
\]
- 当 $ x = -\frac{1}{2} $ 时，
\[
f\left( -\frac{1}{2} \right) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |t(t^2 - 1)| \, dt = \frac{7}{32}.
\]
最小值为 $\boxed{\frac{7}{32}}$。
解析
考查要点：本题主要考查积分函数的求导、绝对值函数的积分以及利用导数求函数极值的方法。
解题核心思路：
- 积分函数求导：利用莱布尼茨积分法则，对积分上下限均为变量的积分求导。
- 绝对值函数的处理：通过分析被积函数的符号，分段处理绝对值。
- 临界点分析：通过求导找到临界点，计算各点函数值比较大小，确定最小值。
破题关键点：
- 导数化简：将导数表达式提取公因式，简化方程求解过程。
- 分段积分：在计算积分时，根据被积函数的符号变化分区间积分。
求导分析
函数 $f(x) = \int_{x}^{x+1} |t(t^2 - 1)| \, dt$ 的导数为：
$f'(x) = |(x+1)(x+2)x| - |x(x+1)(x-1)| = |x(x+1)| \left( |x+2| - |x-1| \right)$
求解临界点
令 $f'(x) = 0$，解得：
- $|x(x+1)| = 0 \Rightarrow x = -1, 0$
- $|x+2| - |x-1| = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$
计算函数值
当 $x = -1$ 时
积分区间为 $[-1, 0]$，被积函数 $|t(t^2 - 1)| = t(t^2 - 1)$（因 $t \in [-1,0]$ 时被积函数为正）：
$f(-1) = \int_{-1}^0 t(t^2 - 1) \, dt = \frac{1}{4}$
当 $x = 0$ 时
积分区间为 $[0, 1]$，被积函数 $|t(t^2 - 1)| = -t(t^2 - 1)$（因 $t \in [0,1]$ 时被积函数为负）：
$f(0) = \int_0^1 (-t(t^2 - 1)) \, dt = \frac{1}{4}$
当 $x = -\frac{1}{2}$ 时
积分区间为 $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$，需分段处理：
- 区间 $[-\frac{1}{2}, 0]$：被积函数为 $t(t^2 - 1)$
- 区间 $[0, \frac{1}{2}]$：被积函数为 $-t(t^2 - 1)$
计算得：
$f\left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{7}{32}$
比较结果
最小值为 $\boxed{\frac{7}{32}}$。