11.判断下列函数的奇偶性 。（1）(x)=x(sin )^2x;(2)(x)=x(sin )^2x;

考查要点：判断函数的奇偶性，需熟练掌握奇函数和偶函数的定义，并灵活运用三角函数的奇偶性进行化简。

解题核心思路：

1. 奇函数定义：$f(-x) = -f(x)$；
2. 偶函数定义：$f(-x) = f(x)$；
3. 关键步骤：将$-x$代入函数表达式，化简后与原函数比较，判断符号关系；
4. 特殊验证：若函数在$x=0$处有定义，需验证$f(0)=0$（奇函数必要条件）。

破题关键点：

• 三角函数的奇偶性：$\sin(-x) = -\sin x$，$\sin^2(-x) = \sin^2 x$；
• 平方项的符号：$(-x)^2 = x^2$，与$x$的正负无关。

第（1）题：$f(x) = x \sin^2 x$

代入$-x$计算$f(-x)$

$f(-x) = (-x) \sin^2(-x)$

利用$\sin(-x) = -\sin x$化简

$\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$

整体化简结果

$f(-x) = (-x) \sin^2 x = -x \sin^2 x = -f(x)$

验证$f(0)=0$

$f(0) = 0 \cdot \sin^2 0 = 0$

结论：满足奇函数定义，且$f(0)=0$，故为奇函数。

第（2）题：$f(x) = x \sin x^2$

代入$-x$计算$f(-x)$

$f(-x) = (-x) \sin((-x)^2)$

化简平方项

$(-x)^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad \sin((-x)^2) = \sin x^2$

整体化简结果

$f(-x) = (-x) \sin x^2 = -x \sin x^2 = -f(x)$

验证$f(0)=0$

$f(0) = 0 \cdot \sin 0^2 = 0$

结论：满足奇函数定义，且$f(0)=0$，故为奇函数。