5.求函数 (x)=dfrac (x)(x+1) 间断点并进行分类

考查要点：本题主要考查函数间断点的求解及分类，涉及分式函数的定义域分析和极限计算。

解题核心思路：

1. 确定函数无定义的点：分式函数分母为零时，函数无定义，这些点可能是间断点。
2. 计算左右极限：判断该点左右极限是否存在、是否相等，从而确定间断点类型。

破题关键点：

• 分母为零的点：直接解方程 $x+1=0$，得到 $x=-1$。
• 极限分析：当 $x$ 趋近于 $-1$ 时，分母趋近于 $0$，分子趋近于 $-1$，导致分式趋向无穷大，属于无穷间断点。

步骤1：确定函数无定义的点

函数 $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ 的分母为 $x+1$，当 $x+1=0$ 时，即 $x=-1$，函数无定义。因此，$x=-1$ 是函数的间断点候选。

步骤2：计算左右极限

• 当 $x$ 从右侧趋近 $-1$（即 $x \to -1^+$）：
  $\lim_{x \to -1^+} \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{-1}{0^+} \to -\infty$
• 当 $x$ 从左侧趋近 $-1$（即 $x \to -1^-$）：
  $\lim_{x \to -1^-} \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{-1}{0^-} \to +\infty$

步骤3：分类间断点

由于左右极限均不存在（趋向无穷大），且方向不同，因此 $x=-1$ 是无穷间断点。