[题目]-|||-lim _(xarrow infty )((dfrac {x+3)(x-1))}^x+1

考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是涉及指数函数的极限形式，需要灵活运用等价无穷小替换和变量代换的方法。

解题核心思路：

1. 化简表达式：将括号内的分式进行通分，转化为标准的$\left(1+\frac{a}{x}\right)^x$形式。
2. 变量代换：通过引入新变量，将指数部分与分母中的变量统一，便于应用极限公式。
3. 极限公式应用：利用$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n = e^a$求解最终结果。

破题关键点：

• 正确化简分式，确保表达式变形准确。
• 识别标准极限形式，选择合适的变量代换。

原题：
$\lim _{x\rightarrow \infty }{\left(\dfrac {x+3}{x-1} - \dfrac {x}{x}\right)}^{x+1}$

步骤解析：

1. 化简括号内表达式

原式括号内为：
$\dfrac{x+3}{x-1} - 1 = \dfrac{x+3 - (x-1)}{x-1} = \dfrac{4}{x-1}$

2. 代入化简后的表达式

原极限变为：
$\lim_{x\to\infty} \left(1 + \dfrac{4}{x-1}\right)^{x+1}$

3. 变量代换

令$t = x - 1$，则当$x \to \infty$时，$t \to \infty$，且$x + 1 = t + 2$。代入得：
$\lim_{t\to\infty} \left(1 + \dfrac{4}{t}\right)^{t + 2}$

4. 拆分极限

将表达式拆分为两部分：
$\lim_{t\to\infty} \left(1 + \dfrac{4}{t}\right)^t \cdot \left(1 + \dfrac{4}{t}\right)^2$

5. 应用极限公式

• 第一部分$\lim_{t\to\infty} \left(1 + \dfrac{4}{t}\right)^t = e^4$。
• 第二部分$\left(1 + \dfrac{4}{t}\right)^2$当$t \to \infty$时趋近于$1$。

6. 合并结果

最终结果为：
$$
e^4 \cdot 1 = e^4

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