题目

求下列函数的极限( 1 )lim _(xarrow infty )dfrac ({(2x-1))^10((7x+2))^20}(5{x)^30}( 2 )lim _(xarrow infty )dfrac ({(2x-1))^10((7x+2))^20}(5{x)^30}

求下列函数的极限

( 1 ) $\lim_{x\to\infty}\frac{(2x-1)^{10}(7x+2)^{20}}{5x^{30}}$

( 2 ) $\lim_{x\to\infty}\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}$

题目解答

答案

（1）

$\begin{align*} &\lim _{x\to \infty }\frac{(2x - 1)^{10}(7x + 2)^{20}}{5x^{30}}\\ =&\lim _{x\to \infty }\frac{(2x)^{10}(1 - \frac{1}{2x})^{10}(7x)^{20}(1 + \frac{2}{7x})^{20}}{5x^{30}}\\ =&\lim _{x\to \infty }\frac{2^{10}x^{10}×7^{20}x^{20}(1 - \frac{1}{2x})^{10}(1 + \frac{2}{7x})^{20}}{5x^{30}}\\ =&\lim _{x\to \infty }\frac{2^{10}×7^{20}(1 - \frac{1}{2x})^{10}(1 + \frac{2}{7x})^{20}}{5}\\ =&\frac{2^{10}×7^{20}}{5} \end{align*}$

（2）

$\begin{align*} &\lim _{x\to \infty }\arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\\ =&\lim _{x\to \infty }\arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1}\\ =&\arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}\\ =&\arcsin \frac{1}{2}\\ =&\frac{\pi}{6} \end{align*}$

（1）答案： $2^{10}\times7^{20}$

（2）答案： $\frac{\pi}{2}$