4.曲线 =xln (2+dfrac (1)(x)) 的渐近线为_

考查要点：本题主要考查曲线渐近线的求解，包括垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线的判断方法。

解题核心思路：

1. 垂直渐近线：寻找函数中使分母趋近于0或对数函数内部趋近于0的点，分析函数值是否趋向无穷。
2. 水平渐近线：计算当$x \to \pm\infty$时函数的极限，若极限为常数则存在水平渐近线。
3. 斜渐近线：当水平渐近线不存在时，计算斜率$a = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$，再求截距$b = \lim_{x \to \infty} (y - a x)$。

破题关键点：

• 垂直渐近线的关键是找到使对数函数内部$2 + \frac{1}{x} \to 0$的$x$值。
• 斜渐近线需通过泰勒展开或等价无穷小替换简化表达式，提取一次项和常数项。

垂直渐近线

当$x \to -\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{x} \to -2$，因此$2 + \frac{1}{x} \to 0^+$，此时$\ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) \to -\infty$。由于$x \to -\frac{1}{2}$为有限值，函数值$y = x \ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) \to +\infty$，故垂直渐近线为$x = -\frac{1}{2}$。

水平渐近线

• 当$x \to +\infty$时：$\frac{1}{x} \to 0$，$\ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) \to \ln 2$，此时$y \approx x \ln 2 \to +\infty$，无水平渐近线。
• 当$x \to -\infty$时：$\frac{1}{x} \to 0$，同理$y \approx x \ln 2 \to -\infty$，无水平渐近线。

斜渐近线

当$x \to +\infty$时，对$\ln\left(2 + \frac{1}{x}\right)$进行泰勒展开：
$\ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) = \ln 2 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2} + \cdots$
代入原函数：
$y = x \left( \ln 2 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2} + \cdots \right) = x \ln 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8x} + \cdots$
当$x \to +\infty$时，高阶小项可忽略，故斜渐近线为$y = x \ln 2 + \frac{1}{2}$。