求极限lim _(narrow infty )(dfrac (n)({n)^2+1}+dfrac (n)({n)^2+2}+... +dfrac (n)({n)^2+n})

步骤 1：确定极限表达式
给定极限表达式为$\lim _{n\rightarrow \infty }(\dfrac {n}{{n}^{2}+1}+\dfrac {n}{{n}^{2}+2}+\cdots +\dfrac {n}{{n}^{2}+n})$，这是一个求和形式的极限问题，其中每一项都是分式形式，分母为$n^2$加上一个从1到n的整数。

步骤 2：应用夹逼准则
为了应用夹逼准则，我们需要找到一个下界和一个上界，使得这两个界在$n\rightarrow \infty$时都收敛到同一个值。对于给定的求和表达式，我们可以观察到每一项$\dfrac{n}{{n}^{2}+i}$（其中$i$从1到$n$）都满足$\dfrac{n}{{n}^{2}+n}\leqslant \dfrac{n}{{n}^{2}+i}\leqslant \dfrac{n}{{n}^{2}+1}$。因此，整个求和表达式的下界为$\dfrac{n}{{n}^{2}+n}$乘以项数$n$，上界为$\dfrac{n}{{n}^{2}+1}$乘以项数$n$。

步骤 3：计算上下界极限
计算下界极限：$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{n}^{2}}{{n}^{2}+n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{1+\dfrac {1}{n}}=\dfrac {1}{1+0}=1$。
计算上界极限：$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{n}^{2}}{{n}^{2}+1}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{1+\dfrac {1}{{n}^{2}}}=\dfrac {1}{1+0}=1$。
由于上下界极限都等于1，根据夹逼准则，原极限也等于1。