题目
求下列函数的间断点并判断类型.-|||-.^dfrac (1{x)}-|||-(2) f(x)= { ,xneq 0 0,x=0
题目解答
答案
】
(1)函数$f(x)$的间断点为$x=0$，因为当$x=0$时，函数$f(x)$的值无穷逼近于$1$，所以$x=0$是$f(x)$的可去间断点.(2)函数$f(x)$的间断点为$x=0$，因为当$x=0$时，函数$f(x)$的值无穷逼近于$0$，所以$x=0$是$f(x)$的可去间断点.(3)函数$f(x)$的间断点为$x=0$，因为当$x=0$时，函数$f(x)$的值的极限为$1$，所以$x=0$是$f(x)$的跳跃间断点.(4)函数$f(x)$的间断点为$x=0$，因为当$x=0$时，函数$f(x)$的值的极限为$1$，所以$x=0$是$f(x)$的跳跃间断点.
(1)x=0是可去间断点(2)x=0是可去间断点(3)x=0是跳跃间断点(4)x=0是跳跃间断点
(1)函数$f(x)$的间断点为$x=0$，因为当$x=0$时，函数$f(x)$的值无穷逼近于$1$，所以$x=0$是$f(x)$的可去间断点.(2)函数$f(x)$的间断点为$x=0$，因为当$x=0$时，函数$f(x)$的值无穷逼近于$0$，所以$x=0$是$f(x)$的可去间断点.(3)函数$f(x)$的间断点为$x=0$，因为当$x=0$时，函数$f(x)$的值的极限为$1$，所以$x=0$是$f(x)$的跳跃间断点.(4)函数$f(x)$的间断点为$x=0$，因为当$x=0$时，函数$f(x)$的值的极限为$1$，所以$x=0$是$f(x)$的跳跃间断点.
(1)x=0是可去间断点(2)x=0是可去间断点(3)x=0是跳跃间断点(4)x=0是跳跃间断点
解析
步骤 1：分析函数 ${2}^{\dfrac {1}{x}}$
函数 ${2}^{\dfrac {1}{x}}$ 在 $x=0$ 处没有定义，因为 $\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处没有定义。因此，$x=0$ 是函数的间断点。当 $x$ 从正方向接近 $0$ 时，$\dfrac{1}{x}$ 趋向于正无穷大，${2}^{\dfrac {1}{x}}$ 也趋向于正无穷大。当 $x$ 从负方向接近 $0$ 时，$\dfrac{1}{x}$ 趋向于负无穷大，${2}^{\dfrac {1}{x}}$ 趋向于 $0$。因此，$x=0$ 是函数的无穷间断点。
步骤 2：分析函数 $f(x)=\left \{ \begin{matrix} \arctan \dfrac {1}{x},x\neq 0\\ 0,x=0\end{matrix} \right.$
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处没有定义，因为 $\arctan \dfrac {1}{x}$ 在 $x=0$ 处没有定义。因此，$x=0$ 是函数的间断点。当 $x$ 从正方向接近 $0$ 时，$\arctan \dfrac {1}{x}$ 趋向于 $\dfrac{\pi}{2}$。当 $x$ 从负方向接近 $0$ 时，$\arctan \dfrac {1}{x}$ 趋向于 $-\dfrac{\pi}{2}$。因此，$x=0$ 是函数的跳跃间断点。
步骤 3：分析函数 $\dfrac {{x}^{2}-1}{(x+1)(x-2)}$
函数 $\dfrac {{x}^{2}-1}{(x+1)(x-2)}$ 在 $x=-1$ 和 $x=2$ 处没有定义，因为分母在这些点上为零。因此，$x=-1$ 和 $x=2$ 是函数的间断点。当 $x$ 接近 $-1$ 时，函数的值趋向于无穷大，因此 $x=-1$ 是函数的无穷间断点。当 $x$ 接近 $2$ 时，函数的值趋向于无穷大，因此 $x=2$ 也是函数的无穷间断点。
步骤 4：分析函数 $f(x)=\dfrac {x-1}{x({e}^{x}-e)}$
函数 $f(x)=\dfrac {x-1}{x({e}^{x}-e)}$ 在 $x=0$ 和 $x=1$ 处没有定义，因为分母在这些点上为零。因此，$x=0$ 和 $x=1$ 是函数的间断点。当 $x$ 接近 $0$ 时，函数的值趋向于无穷大，因此 $x=0$ 是函数的无穷间断点。当 $x$ 接近 $1$ 时，函数的值趋向于无穷大，因此 $x=1$ 也是函数的无穷间断点。
函数 ${2}^{\dfrac {1}{x}}$ 在 $x=0$ 处没有定义，因为 $\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处没有定义。因此，$x=0$ 是函数的间断点。当 $x$ 从正方向接近 $0$ 时，$\dfrac{1}{x}$ 趋向于正无穷大，${2}^{\dfrac {1}{x}}$ 也趋向于正无穷大。当 $x$ 从负方向接近 $0$ 时，$\dfrac{1}{x}$ 趋向于负无穷大，${2}^{\dfrac {1}{x}}$ 趋向于 $0$。因此，$x=0$ 是函数的无穷间断点。
步骤 2：分析函数 $f(x)=\left \{ \begin{matrix} \arctan \dfrac {1}{x},x\neq 0\\ 0,x=0\end{matrix} \right.$
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处没有定义，因为 $\arctan \dfrac {1}{x}$ 在 $x=0$ 处没有定义。因此，$x=0$ 是函数的间断点。当 $x$ 从正方向接近 $0$ 时，$\arctan \dfrac {1}{x}$ 趋向于 $\dfrac{\pi}{2}$。当 $x$ 从负方向接近 $0$ 时，$\arctan \dfrac {1}{x}$ 趋向于 $-\dfrac{\pi}{2}$。因此，$x=0$ 是函数的跳跃间断点。
步骤 3：分析函数 $\dfrac {{x}^{2}-1}{(x+1)(x-2)}$
函数 $\dfrac {{x}^{2}-1}{(x+1)(x-2)}$ 在 $x=-1$ 和 $x=2$ 处没有定义，因为分母在这些点上为零。因此，$x=-1$ 和 $x=2$ 是函数的间断点。当 $x$ 接近 $-1$ 时，函数的值趋向于无穷大，因此 $x=-1$ 是函数的无穷间断点。当 $x$ 接近 $2$ 时，函数的值趋向于无穷大，因此 $x=2$ 也是函数的无穷间断点。
步骤 4：分析函数 $f(x)=\dfrac {x-1}{x({e}^{x}-e)}$
函数 $f(x)=\dfrac {x-1}{x({e}^{x}-e)}$ 在 $x=0$ 和 $x=1$ 处没有定义，因为分母在这些点上为零。因此，$x=0$ 和 $x=1$ 是函数的间断点。当 $x$ 接近 $0$ 时，函数的值趋向于无穷大，因此 $x=0$ 是函数的无穷间断点。当 $x$ 接近 $1$ 时，函数的值趋向于无穷大，因此 $x=1$ 也是函数的无穷间断点。