题目
设=dfrac (arcsin x)(sqrt {1-{x)^2}}（1）证明：=dfrac (arcsin x)(sqrt {1-{x)^2}}（2）求=dfrac (arcsin x)(sqrt {1-{x)^2}}
设
（1）证明：
（2）求
题目解答
答案
（1）因为，所以
，即
，对等式两边求导得：
，说明当
时，结论成立，假设当
时，结论成立，当
时，
，结论成立，故由数学归纳法可知：，证毕。
（2）当
时，
且
，所以
，
，
故答案为
解析
步骤 1：求导
首先，我们对给定的函数$y=\dfrac {\arcsin x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$进行求导，得到$y'$。利用商的求导法则和链式法则，我们得到$y'=\dfrac {1+\arcsin x\cdot \dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}{1-{x}^{2}}}$，简化后得到$y'=\dfrac {1}{1-{x}^{2}}+\dfrac {x}{1-{x}^{2}}y$。
步骤 2：证明等式
接下来，我们证明$(1-{x}^{2}){y}^{(n+1)}-(2n+1)x{y}^{(n-1)}-{n}^{2}{y}^{(n-1)}=0(n\geqslant 1)$。首先，我们对$y'$进行求导，得到$(1-{x}^{2})y-xy-1=0$。然后，我们对等式两边求导，得到$(1-{x}^{2}){y}^{(n+1)}-(2n+1)x{y}^{(n-1)}-{n}^{2}{y}^{(n-1)}=0$。通过数学归纳法，我们可以证明这个等式对所有$n\geqslant 1$都成立。
步骤 3：求${y}^{(n)}(0)$
最后，我们求${y}^{(n)}(0)$。当$x=0$时，我们得到${y}^{(n+1)}={n}^{2}{y}^{(n-1)}$且$y'(0)=1$，${y}^{11}(0)=0$。通过递推关系，我们可以得到${(2k+1)}^{2}(0)={(2k)}^{2}{y}^{2}(2k-1)(0)={(2k)}^{2}{(2k-2)}^{2}{y}^{2}(2k-3)(0)$，$=\cdots ={4}^{k}{(k!)}^{2}y'(0)={4}^{k}{(k!1)}^{2}$，${(1)}^{20}(0)={(2{k}^{2}-1)}^{2}{y}^{2k-2}(0)={(2k-1)}^{2}{(2k-3)}^{2}{y}^{2}{(2k-4)}^{2}(0)$，$=\cdots ={[ (2k-1)\cdot {y}^{2}{y}^{n}(0)=0$，k=0,1,2, ...
首先，我们对给定的函数$y=\dfrac {\arcsin x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$进行求导，得到$y'$。利用商的求导法则和链式法则，我们得到$y'=\dfrac {1+\arcsin x\cdot \dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}{1-{x}^{2}}}$，简化后得到$y'=\dfrac {1}{1-{x}^{2}}+\dfrac {x}{1-{x}^{2}}y$。
步骤 2：证明等式
接下来，我们证明$(1-{x}^{2}){y}^{(n+1)}-(2n+1)x{y}^{(n-1)}-{n}^{2}{y}^{(n-1)}=0(n\geqslant 1)$。首先，我们对$y'$进行求导，得到$(1-{x}^{2})y-xy-1=0$。然后，我们对等式两边求导，得到$(1-{x}^{2}){y}^{(n+1)}-(2n+1)x{y}^{(n-1)}-{n}^{2}{y}^{(n-1)}=0$。通过数学归纳法，我们可以证明这个等式对所有$n\geqslant 1$都成立。
步骤 3：求${y}^{(n)}(0)$
最后，我们求${y}^{(n)}(0)$。当$x=0$时，我们得到${y}^{(n+1)}={n}^{2}{y}^{(n-1)}$且$y'(0)=1$，${y}^{11}(0)=0$。通过递推关系，我们可以得到${(2k+1)}^{2}(0)={(2k)}^{2}{y}^{2}(2k-1)(0)={(2k)}^{2}{(2k-2)}^{2}{y}^{2}(2k-3)(0)$，$=\cdots ={4}^{k}{(k!)}^{2}y'(0)={4}^{k}{(k!1)}^{2}$，${(1)}^{20}(0)={(2{k}^{2}-1)}^{2}{y}^{2k-2}(0)={(2k-1)}^{2}{(2k-3)}^{2}{y}^{2}{(2k-4)}^{2}(0)$，$=\cdots ={[ (2k-1)\cdot {y}^{2}{y}^{n}(0)=0$，k=0,1,2, ...