题目

设函数f(x)满足lim _(harrow 0)dfrac (1)(h)[ f(5-dfrac (1)(3)h)-f(5)] =2,则lim _(harrow 0)dfrac (1)(h)[ f(5-dfrac (1)(3)h)-f(5)] =2 ____________.

设函数f(x)满足 $\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\left[f\left(5-\frac{1}{3}h\right)-f\left(5\right)\right]=2$ ,则 $f'(5)=$ ____________.

题目解答

答案

本题考查的是导数的概念和定义，以及如何根据导数的定义来求解函数在某一点的导数值。

首先，我们需要理解导数的定义。导数 $f′(x)$ 在点

$x$ 的定义是： $f′(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

其次，根据题目给出的条件，我们有： $\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\left[f\left(5-\frac{1}{3}h\right)-f\left(5\right)\right]=2$

接下来，我们需要将上述极限表达式转换为导数的定义形式。注意到 $f\left(5-\frac{1}{3}h\right)$ 可以看作是 $f\left(x+h\right)$ ，其中 $?=5$ , $h=-\frac{1}{3}h$ 。因此，我们可以将极限表达式重写为： $\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(5-\frac{1}{3}h\right)-f\left(5\right)}{-\frac{1}{3}h}$

然后，我们需要将分子和分母同时乘以 $-3$ ，以消除分母中的负号和分数，得到： $\lim_{h\rightarrow0}\frac{3\left[f\left(5-\frac{1}{3}h\right)-f\left(5\right)\right]}{h}=2\times\left(-3\right)=-6$ 最后，根据导数的定义，我们可以得出 $f'(5)=-6$ 。

解析

步骤 1：理解导数的定义
导数$f'(x)$在点$x$的定义是：$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}$

步骤 2：将题目条件转换为导数定义形式
题目给出的条件是：$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {1}{h}[ f(5-\dfrac {1}{3}h)-f(5)] =2$
注意到$f(5-\dfrac {1}{3}h)$可以看作是$f(x+h)$，其中$x=5$，$h=-\dfrac {1}{3}h$。因此，我们可以将极限表达式重写为：$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(5-\dfrac {1}{3}h)-f(5)}{-\dfrac {1}{3}h}$

步骤 3：调整表达式以匹配导数定义
为了匹配导数的定义形式，我们需要将分子和分母同时乘以-3，以消除分母中的负号和分数，得到：$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {3[ f(5-\dfrac {1}{3}h)-f(5)] }{h}=2\times (-3)=-6$

步骤 4：得出导数值
根据导数的定义，我们可以得出$f'(5)=-6$。