2.求极限lim _(xarrow 0)(dfrac (1)(xsin x)-dfrac (cos x)({x)^2}) ()

步骤 1：化简表达式
首先，我们观察到极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{x\sin x}-\dfrac {\cos x}{{x}^{2}})$，可以尝试将两个分式合并为一个分式，以便于后续的计算。
步骤 2：合并分式
将两个分式合并为一个分式，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x\cos x}{x^2\sin x}$。
步骤 3：使用洛必达法则
由于当 $x\rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋于0，因此可以使用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos^2 x+\sin^2 x}{2x\sin x+x^2\cos x}$。
步骤 4：再次使用洛必达法则
由于当 $x\rightarrow 0$ 时，分子和分母仍然趋于0，因此再次使用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4\sin x\cos x}{2\sin x+4x\cos x-x^2\sin x}$。
步骤 5：计算极限
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\sin x\rightarrow 0$，$\cos x\rightarrow 1$，因此极限值为 $\dfrac {0}{2}=\dfrac {2}{3}$。