题目
[单选题]设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则( ).A. r(A,AB)=r(A)B. r(A,BA)=r(A)C. r(A,B)=max(r(A),r(B))D. r(A,B)=r(AT,BT)
[单选题]设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则( ).
- A. r(A,AB)=r(A)
- B. r(A,BA)=r(A)
- C. r(A,B)=max{r(A),r(B)}
- D. r(A,B)=r(AT,BT)
题目解答
答案
正确答案:A
解析
步骤 1：理解矩阵秩的定义
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的最大数目。对于矩阵\(X\)，记\(r(X)\)为矩阵\(X\)的秩。
步骤 2：分析选项A
对于选项A，\(r(A,AB)\)表示矩阵\(A\)和\(AB\)的分块矩阵的秩。由于\(AB\)是\(A\)的列向量的线性组合，因此\(AB\)的列向量都在\(A\)的列空间中。所以，\(r(A,AB)\)的秩不会超过\(r(A)\)。但是，由于\(A\)的列向量也都在\(A\)的列空间中，所以\(r(A,AB)\)的秩至少为\(r(A)\)。因此，\(r(A,AB)=r(A)\)。
步骤 3：分析选项B
对于选项B，\(r(A,BA)\)表示矩阵\(A\)和\(BA\)的分块矩阵的秩。由于\(BA\)是\(A\)的行向量的线性组合，因此\(BA\)的行向量都在\(A\)的行空间中。所以，\(r(A,BA)\)的秩不会超过\(r(A)\)。但是，由于\(A\)的行向量也都在\(A\)的行空间中，所以\(r(A,BA)\)的秩至少为\(r(A)\)。因此，\(r(A,BA)=r(A)\)。
步骤 4：分析选项C
对于选项C，\(r(A,B)\)表示矩阵\(A\)和\(B\)的分块矩阵的秩。矩阵\(A\)和\(B\)的分块矩阵的秩至少为\(A\)和\(B\)中秩较大的那个，但不一定等于\(A\)和\(B\)中秩较大的那个，因为\(A\)和\(B\)的列向量可能线性相关。因此，\(r(A,B)\)不一定等于\(max{r(A),r(B)}\)。
步骤 5：分析选项D
对于选项D，\(r(A,B)=r(A^T,B^T)\)。由于矩阵的秩等于其转置矩阵的秩，所以\(r(A,B)=r(A^T,B^T)\)。
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的最大数目。对于矩阵\(X\)，记\(r(X)\)为矩阵\(X\)的秩。
步骤 2：分析选项A
对于选项A，\(r(A,AB)\)表示矩阵\(A\)和\(AB\)的分块矩阵的秩。由于\(AB\)是\(A\)的列向量的线性组合，因此\(AB\)的列向量都在\(A\)的列空间中。所以，\(r(A,AB)\)的秩不会超过\(r(A)\)。但是，由于\(A\)的列向量也都在\(A\)的列空间中，所以\(r(A,AB)\)的秩至少为\(r(A)\)。因此，\(r(A,AB)=r(A)\)。
步骤 3：分析选项B
对于选项B，\(r(A,BA)\)表示矩阵\(A\)和\(BA\)的分块矩阵的秩。由于\(BA\)是\(A\)的行向量的线性组合，因此\(BA\)的行向量都在\(A\)的行空间中。所以，\(r(A,BA)\)的秩不会超过\(r(A)\)。但是，由于\(A\)的行向量也都在\(A\)的行空间中，所以\(r(A,BA)\)的秩至少为\(r(A)\)。因此，\(r(A,BA)=r(A)\)。
步骤 4：分析选项C
对于选项C，\(r(A,B)\)表示矩阵\(A\)和\(B\)的分块矩阵的秩。矩阵\(A\)和\(B\)的分块矩阵的秩至少为\(A\)和\(B\)中秩较大的那个，但不一定等于\(A\)和\(B\)中秩较大的那个，因为\(A\)和\(B\)的列向量可能线性相关。因此，\(r(A,B)\)不一定等于\(max{r(A),r(B)}\)。
步骤 5：分析选项D
对于选项D，\(r(A,B)=r(A^T,B^T)\)。由于矩阵的秩等于其转置矩阵的秩，所以\(r(A,B)=r(A^T,B^T)\)。