题目
[题目] Delta ABC 的内角A.B.c的对边分别为ab.c,已-|||-知 sin dfrac (A+C)(2)=bsin A.-|||-(1)求B;-|||-(2)若 Delta ABC 为锐角三角形,且 =1, 求 Delta ABC 面积的取-|||-值范围.
题目解答
答案
解析
(1)由题设及正弦定理得 $\sin A\sin \dfrac {A+C}{2}=\sin B\sin A$.
因为 $\sin A\neq 0$.
所以 $\sin \dfrac {A+C}{2}=\sin B$.
由 $A+B+C={180}^{\circ }$ .可得 $\sin \dfrac {A+C}{2}=\cos \dfrac {B}{2}$ ,故 $\cos \dfrac {B}{2}=2\sin \dfrac {B}{2}\cos \dfrac {B}{2}$
因为 $\cos \dfrac {B}{2}=0$ .故 $\sin \dfrac {B}{2}=\dfrac {1}{2}$,
因此 $\angle B={60}^{\circ }$ .
(2)由题设及(1)知 $\Delta ABC$ 的面积 ${S}_{\Delta ABC}=\dfrac {\sqrt {3}}{4}a$
由正弦定理得 $a=\dfrac {c\sin A}{\sin C}=\dfrac {\sin ({120}^{\circ }-C)}{\sin C}=\dfrac {\sqrt {3}}{2\tan C}+\dfrac {1}{2}$
由于 $\Delta ABC$ 为锐角三角形,故 ${10}^{\circ }\lt A\lt {90}^{\circ }$ . ${0}^{\circ }\lt C\lt {90}^{\circ }$ ,
由(1)知 $A+C={120}^{\circ }$ ,所以 ${30}^{\circ }\lt C\lt {90}^{\circ }$ .故 $\dfrac {1}{2}\lt a\lt 2$,
从而 $\dfrac {\sqrt {3}}{8}\lt {S}_{\Delta ABC}\lt \dfrac {\sqrt {3}}{2}$
因此, $\Delta ABC$ 面积的取值范围是 $(\dfrac {\sqrt {3}}{8},\dfrac {\sqrt {3}}{2})$
【解析】
步骤 1：应用正弦定理
由题设及正弦定理得 $\sin A\sin \dfrac {A+C}{2}=\sin B\sin A$.
步骤 2：化简三角函数
因为 $\sin A\neq 0$.
所以 $\sin \dfrac {A+C}{2}=\sin B$.
由 $A+B+C={180}^{\circ }$ .可得 $\sin \dfrac {A+C}{2}=\cos \dfrac {B}{2}$ ,故 $\cos \dfrac {B}{2}=2\sin \dfrac {B}{2}\cos \dfrac {B}{2}$
步骤 3：求解角B
因为 $\cos \dfrac {B}{2}=0$ .故 $\sin \dfrac {B}{2}=\dfrac {1}{2}$,
因此 $\angle B={60}^{\circ }$ .
步骤 4：计算三角形面积
由题设及(1)知 $\Delta ABC$ 的面积 ${S}_{\Delta ABC}=\dfrac {\sqrt {3}}{4}a$
步骤 5：应用正弦定理求边长a
由正弦定理得 $a=\dfrac {c\sin A}{\sin C}=\dfrac {\sin ({120}^{\circ }-C)}{\sin C}=\dfrac {\sqrt {3}}{2\tan C}+\dfrac {1}{2}$
步骤 6：确定角C的范围
由于 $\Delta ABC$ 为锐角三角形,故 ${10}^{\circ }\lt A\lt {90}^{\circ }$ . ${0}^{\circ }\lt C\lt {90}^{\circ }$ ,
由(1)知 $A+C={120}^{\circ }$ ,所以 ${30}^{\circ }\lt C\lt {90}^{\circ }$ .故 $\dfrac {1}{2}\lt a\lt 2$,
步骤 7：确定面积范围
从而 $\dfrac {\sqrt {3}}{8}\lt {S}_{\Delta ABC}\lt \dfrac {\sqrt {3}}{2}$
因为 $\sin A\neq 0$.
所以 $\sin \dfrac {A+C}{2}=\sin B$.
由 $A+B+C={180}^{\circ }$ .可得 $\sin \dfrac {A+C}{2}=\cos \dfrac {B}{2}$ ,故 $\cos \dfrac {B}{2}=2\sin \dfrac {B}{2}\cos \dfrac {B}{2}$
因为 $\cos \dfrac {B}{2}=0$ .故 $\sin \dfrac {B}{2}=\dfrac {1}{2}$,
因此 $\angle B={60}^{\circ }$ .
(2)由题设及(1)知 $\Delta ABC$ 的面积 ${S}_{\Delta ABC}=\dfrac {\sqrt {3}}{4}a$
由正弦定理得 $a=\dfrac {c\sin A}{\sin C}=\dfrac {\sin ({120}^{\circ }-C)}{\sin C}=\dfrac {\sqrt {3}}{2\tan C}+\dfrac {1}{2}$
由于 $\Delta ABC$ 为锐角三角形,故 ${10}^{\circ }\lt A\lt {90}^{\circ }$ . ${0}^{\circ }\lt C\lt {90}^{\circ }$ ,
由(1)知 $A+C={120}^{\circ }$ ,所以 ${30}^{\circ }\lt C\lt {90}^{\circ }$ .故 $\dfrac {1}{2}\lt a\lt 2$,
从而 $\dfrac {\sqrt {3}}{8}\lt {S}_{\Delta ABC}\lt \dfrac {\sqrt {3}}{2}$
因此, $\Delta ABC$ 面积的取值范围是 $(\dfrac {\sqrt {3}}{8},\dfrac {\sqrt {3}}{2})$
【解析】
步骤 1：应用正弦定理
由题设及正弦定理得 $\sin A\sin \dfrac {A+C}{2}=\sin B\sin A$.
步骤 2：化简三角函数
因为 $\sin A\neq 0$.
所以 $\sin \dfrac {A+C}{2}=\sin B$.
由 $A+B+C={180}^{\circ }$ .可得 $\sin \dfrac {A+C}{2}=\cos \dfrac {B}{2}$ ,故 $\cos \dfrac {B}{2}=2\sin \dfrac {B}{2}\cos \dfrac {B}{2}$
步骤 3：求解角B
因为 $\cos \dfrac {B}{2}=0$ .故 $\sin \dfrac {B}{2}=\dfrac {1}{2}$,
因此 $\angle B={60}^{\circ }$ .
步骤 4：计算三角形面积
由题设及(1)知 $\Delta ABC$ 的面积 ${S}_{\Delta ABC}=\dfrac {\sqrt {3}}{4}a$
步骤 5：应用正弦定理求边长a
由正弦定理得 $a=\dfrac {c\sin A}{\sin C}=\dfrac {\sin ({120}^{\circ }-C)}{\sin C}=\dfrac {\sqrt {3}}{2\tan C}+\dfrac {1}{2}$
步骤 6：确定角C的范围
由于 $\Delta ABC$ 为锐角三角形,故 ${10}^{\circ }\lt A\lt {90}^{\circ }$ . ${0}^{\circ }\lt C\lt {90}^{\circ }$ ,
由(1)知 $A+C={120}^{\circ }$ ,所以 ${30}^{\circ }\lt C\lt {90}^{\circ }$ .故 $\dfrac {1}{2}\lt a\lt 2$,
步骤 7：确定面积范围
从而 $\dfrac {\sqrt {3}}{8}\lt {S}_{\Delta ABC}\lt \dfrac {\sqrt {3}}{2}$