题目
(5) lim _(narrow infty )(1+dfrac (1)(2)+dfrac (1)({2)^2}+... +dfrac (1)({2)^n}) ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别数列类型
数列 $1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{{2}^{2}}+\cdots +\dfrac {1}{{2}^{n}}$ 是一个等比数列，其中首项 $a_1=1$，公比 $q=\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：应用等比数列求和公式
等比数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。将 $a_1=1$ 和 $q=\dfrac{1}{2}$ 代入公式，得到 $S_n = \dfrac{1(1-(\dfrac{1}{2})^n)}{1-\dfrac{1}{2}}$。
步骤 3：计算极限
当 $n\rightarrow \infty$ 时，$(\dfrac{1}{2})^n\rightarrow 0$，因此 $\lim _{n\rightarrow \infty }S_n = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1(1-(\dfrac{1}{2})^n)}{1-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1(1-0)}{1-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2$。
数列 $1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{{2}^{2}}+\cdots +\dfrac {1}{{2}^{n}}$ 是一个等比数列，其中首项 $a_1=1$，公比 $q=\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：应用等比数列求和公式
等比数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。将 $a_1=1$ 和 $q=\dfrac{1}{2}$ 代入公式，得到 $S_n = \dfrac{1(1-(\dfrac{1}{2})^n)}{1-\dfrac{1}{2}}$。
步骤 3：计算极限
当 $n\rightarrow \infty$ 时，$(\dfrac{1}{2})^n\rightarrow 0$，因此 $\lim _{n\rightarrow \infty }S_n = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1(1-(\dfrac{1}{2})^n)}{1-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1(1-0)}{1-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2$。