练习2 f(x_(1),x_(2),x_(3))=(x_(1)+ax_(2))^2+(x_(2)+ax_(3))^2+(x_(3)+ax_(1))^2 正定二次型，则a的取值范围是____.

将二次型展开并整理为矩阵形式，得： \[ f(x_1, x_2, x_3) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+a^2 & a & a \\ a & 1+a^2 & a \\ a & a & 1+a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}. \] 矩阵 $A$ 的特征值为 $1+a^2+2a$（单根）和 $1+a^2-a$（二重根）。 为使 $A$ 正定，特征值均须大于0： \[ 1+a^2+2a = (a+1)^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad a \neq -1, \] \[ 1+a^2-a = \left(a-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0 \quad \text{（恒成立）}. \] 因此，$a$ 的取值范围为 $\boxed{a \neq -1}$。