题目
证明方程x=asinx+b, 其中a>0, b>0, 至少有一个正根, 并且它不超过a+b.
证明方程x=asinx+b, 其中a>0, b>0, 至少有一个正根, 并且它不超过a+b.
题目解答
答案
证明 设f(x)=asin x+b−x, 则f(x)是[0, a+b]上的连续函数.f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b−(a+b)=a[sin(a+b)−1]≤0.若f(a+b)=0, 则说明x=a+b就是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根;若f(a+b)<0, 则f(0)f(a+b)<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a+b), 使f(ξ)=0, 这说明x=ξ 也是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根.总之, 方程x=asinx+b至少有一个正根, 并且它不超过a+b.
解析
步骤 1：定义函数
定义函数f(x) = asin x + b - x，其中a > 0, b > 0。该函数在[0, a+b]区间上是连续的。
步骤 2：计算f(0)和f(a+b)
计算f(0) = asin(0) + b - 0 = b > 0。
计算f(a+b) = asin(a+b) + b - (a+b) = a[sin(a+b) - 1] + b - a。
由于sin(a+b)的取值范围是[-1, 1]，所以sin(a+b) - 1 ≤ 0，因此a[sin(a+b) - 1] ≤ 0。
所以f(a+b) = a[sin(a+b) - 1] + b - a ≤ b - a ≤ 0。
步骤 3：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在区间[a, b]的端点处的函数值异号，那么在区间(a, b)内至少存在一个零点。
由于f(0) > 0且f(a+b) ≤ 0，所以f(x)在区间(0, a+b)内至少存在一个零点ξ，使得f(ξ) = 0。
步骤 4：结论
由于f(ξ) = 0，所以ξ = asin(ξ) + b，即ξ是方程x = asin x + b的一个正根，且ξ ≤ a+b。
定义函数f(x) = asin x + b - x，其中a > 0, b > 0。该函数在[0, a+b]区间上是连续的。
步骤 2：计算f(0)和f(a+b)
计算f(0) = asin(0) + b - 0 = b > 0。
计算f(a+b) = asin(a+b) + b - (a+b) = a[sin(a+b) - 1] + b - a。
由于sin(a+b)的取值范围是[-1, 1]，所以sin(a+b) - 1 ≤ 0，因此a[sin(a+b) - 1] ≤ 0。
所以f(a+b) = a[sin(a+b) - 1] + b - a ≤ b - a ≤ 0。
步骤 3：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在区间[a, b]的端点处的函数值异号，那么在区间(a, b)内至少存在一个零点。
由于f(0) > 0且f(a+b) ≤ 0，所以f(x)在区间(0, a+b)内至少存在一个零点ξ，使得f(ξ) = 0。
步骤 4：结论
由于f(ξ) = 0，所以ξ = asin(ξ) + b，即ξ是方程x = asin x + b的一个正根，且ξ ≤ a+b。