1.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形.-|||-(1) f(x)= ) (x)^2,0leqslant xleqslant 1 2-x,1lt xleqslant 2 .

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性判断，以及函数图像的绘制方法。

解题核心思路：

1. 分段函数连续性判断：分段函数在定义域内部的连续性由各段函数的性质决定（如初等函数在其定义域内连续），关键需验证分段点处的连续性。
2. 分段点连续性判断：需计算分段点处的左极限、右极限，并与函数值比较，若三者相等则连续。
3. 图像绘制：根据分段函数的表达式，分别绘制各段的图像，并确保分段点处图像连续。

破题关键点：

• 初等函数的连续性：各段函数在各自区间内连续。
• 分段点x=1处的极限计算：通过左右极限与函数值的比较，判断连续性。

第（1）题

分段函数连续性分析

1. 区间内部连续性：

   • 在区间 $[0,1]$ 上，$f(x) = x^2$ 是多项式函数，属于初等函数，在该区间内连续。
   • 在区间 $(1,2]$ 上，$f(x) = 2 - x$ 是一次函数，属于初等函数，在该区间内连续。

2. 分段点 $x=1$ 处的连续性：

   • 左极限：当 $x$ 从左侧趋近于 $1$ 时，$f(x) = x^2$，故：
     $f(1^-) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1$
   • 右极限：当 $x$ 从右侧趋近于 $1$ 时，$f(x) = 2 - x$，故：
     $f(1^+) = \lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 2 - 1 = 1$
   • 函数值：$f(1) = 1^2 = 1$。
   • 结论：左极限、右极限和函数值均等于 $1$，因此 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续。

函数图像绘制

1. 区间 $[0,1]$：绘制抛物线 $y = x^2$，从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$。
2. 区间 $(1,2]$：绘制直线 $y = 2 - x$，从点 $(1,1)$ 到点 $(2,0)$。
3. 分段点连接：在 $x=1$ 处，两段函数值均为 $1$，图像连续。