题目
11.已知函数 (x)=(x)^2ln (2-x), 则当 geqslant 3 时, ^(n)(0)= __

题目解答
答案
${f}^{n}(0)$=0
因为${f}^{n}(x)$=${x}^{2}ln(2-x)$
所以${f}^{n}(0)$=0
解析
步骤 1:求导数
首先,我们需要对函数 $f(x)={x}^{2}\ln (2-x)$ 进行求导,以确定其在 $x=0$ 处的高阶导数。由于 $n\geqslant 3$,我们需要计算至少三次导数。
步骤 2:计算一阶导数
$f'(x) = 2x\ln(2-x) + x^2 \cdot \frac{-1}{2-x} = 2x\ln(2-x) - \frac{x^2}{2-x}$
步骤 3:计算二阶导数
$f''(x) = 2\ln(2-x) + 2x \cdot \frac{-1}{2-x} - \frac{2x(2-x) + x^2}{(2-x)^2} = 2\ln(2-x) - \frac{2x}{2-x} - \frac{4x - x^2}{(2-x)^2}$
步骤 4:计算三阶导数
$f'''(x) = \frac{-2}{2-x} - \frac{2(2-x) + 2x}{(2-x)^2} - \frac{4(2-x)^2 - 2(4x - x^2)(2-x)}{(2-x)^4}$
化简后,我们发现 $f'''(0)$ 的值与 $x$ 的值无关,且为常数。
步骤 5:计算更高阶导数
对于 $n\geqslant 3$ 的情况,我们注意到 $f(x)$ 的形式使得在 $x=0$ 处的高阶导数将只与 $x$ 的系数有关,而与 $x$ 的值无关。因此,$f^{(n)}(0)$ 将只取决于 $x$ 的系数,而这些系数在 $x=0$ 处为零。
首先,我们需要对函数 $f(x)={x}^{2}\ln (2-x)$ 进行求导,以确定其在 $x=0$ 处的高阶导数。由于 $n\geqslant 3$,我们需要计算至少三次导数。
步骤 2:计算一阶导数
$f'(x) = 2x\ln(2-x) + x^2 \cdot \frac{-1}{2-x} = 2x\ln(2-x) - \frac{x^2}{2-x}$
步骤 3:计算二阶导数
$f''(x) = 2\ln(2-x) + 2x \cdot \frac{-1}{2-x} - \frac{2x(2-x) + x^2}{(2-x)^2} = 2\ln(2-x) - \frac{2x}{2-x} - \frac{4x - x^2}{(2-x)^2}$
步骤 4:计算三阶导数
$f'''(x) = \frac{-2}{2-x} - \frac{2(2-x) + 2x}{(2-x)^2} - \frac{4(2-x)^2 - 2(4x - x^2)(2-x)}{(2-x)^4}$
化简后,我们发现 $f'''(0)$ 的值与 $x$ 的值无关,且为常数。
步骤 5:计算更高阶导数
对于 $n\geqslant 3$ 的情况,我们注意到 $f(x)$ 的形式使得在 $x=0$ 处的高阶导数将只与 $x$ 的系数有关,而与 $x$ 的值无关。因此,$f^{(n)}(0)$ 将只取决于 $x$ 的系数,而这些系数在 $x=0$ 处为零。