题目
(5)设四阶矩阵 =((a)_(n)) 不可逆,a12的代数余子式 _(12)neq 0, α1,α2,α3,α4为矩阵A的列向量组, A`-|||-为A的伴随矩阵,则方程组 'x=0 的通解为-|||-(A) =(k)_(1)(a)_(1)+(k)_(2)(a)_(2)+(k)_(3)(a)_(3) 其中k1,k2,k3为任意常数.-|||-(B) =(k)_(1)(a)_(1)+(k)_(2)(a)_(2)+(k)_(3)(a)_(4), 其中k1,k2,k3为任意常数.-|||-(C) =(k)_(1)(a)_(1)+(k)_(2)(a)_(3)+(k)_(3)(a)_(4), 其中k1,k2,k3为任意常数.-|||-(D) =(k)_(1)(a)_(2)+(k)_(2)(a)_(3)+(k)_(3)(a)_(4), 其中k1,k2,k3为任意常数.A、AB、BC、CD、D
- A、A
- B、B
- C、C
- D、D
题目解答
答案
C
解析
步骤 1:理解伴随矩阵的性质
伴随矩阵 $A^*$ 的列向量是原矩阵 $A$ 的行向量的代数余子式。由于 $A$ 不可逆,其行列式为0,即 $|A|=0$。伴随矩阵 $A^*$ 的秩小于等于 $A$ 的秩,且 $A^*A = |A|I = 0$,因此 $A^*$ 的列向量组线性相关。
步骤 2:分析方程组 $A^*x=0$ 的解
由于 $A^*$ 的列向量组线性相关,方程组 $A^*x=0$ 有非零解。根据伴随矩阵的性质,$A^*$ 的列向量组的秩为3,因此方程组 $A^*x=0$ 的基础解系含有1个向量,通解含有3个自由变量。
步骤 3:确定通解的形式
由于 $A^*$ 的列向量组的秩为3,且 $A_{12} \neq 0$,说明 $A^*$ 的第2列不为零向量。因此,方程组 $A^*x=0$ 的通解可以表示为 $x=k_1a_1+k_2a_3+k_3a_4$,其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数。
伴随矩阵 $A^*$ 的列向量是原矩阵 $A$ 的行向量的代数余子式。由于 $A$ 不可逆,其行列式为0,即 $|A|=0$。伴随矩阵 $A^*$ 的秩小于等于 $A$ 的秩,且 $A^*A = |A|I = 0$,因此 $A^*$ 的列向量组线性相关。
步骤 2:分析方程组 $A^*x=0$ 的解
由于 $A^*$ 的列向量组线性相关,方程组 $A^*x=0$ 有非零解。根据伴随矩阵的性质,$A^*$ 的列向量组的秩为3,因此方程组 $A^*x=0$ 的基础解系含有1个向量,通解含有3个自由变量。
步骤 3:确定通解的形式
由于 $A^*$ 的列向量组的秩为3,且 $A_{12} \neq 0$,说明 $A^*$ 的第2列不为零向量。因此,方程组 $A^*x=0$ 的通解可以表示为 $x=k_1a_1+k_2a_3+k_3a_4$,其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数。