题目
求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)。
求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)。
题目解答
答案
正确答案:y=f(x)带佩亚诺余项的麦克劳林公式:f(x)=f(0)+f’(0)x+xn+o(xn),求f(n)(0)(n≥3)可以通过先求y=f(x)的麦克劳林展开式,则展开式中xn项的系数与n!的乘积就是y=f(x)在点x=0处的n阶导数值f(n)(0)。由麦克劳林公式,所以x2ln(1+x)=x3-+…+(-1)n-1+o(xn)。对照麦克劳林公式f(x)=f(0)+xn+o(xn),从而推知f(n)(0)/n!=(-1)n-1/n-2,得f(n)(0)=(-1)-1n!/n-2,n=3,4,…。 涉及知识点:一元函数微分学
解析
步骤 1：求函数f(x)的麦克劳林展开式
函数f(x)=x^2ln(1+x)在x=0处的麦克劳林展开式为：
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^(n)(0)x^n/n! + o(x^n)
步骤 2：求f(x)的麦克劳林展开式中x^n项的系数
由麦克劳林公式，x^2ln(1+x)的麦克劳林展开式为：
x^2ln(1+x) = x^3 - x^4/2 + x^5/3 - ... + (-1)^(n-1)x^(n+1)/(n-1) + o(x^(n+1))
步骤 3：求f(n)(0)
由麦克劳林公式，f(x)的麦克劳林展开式中x^n项的系数为f^(n)(0)/n!，所以f^(n)(0) = (-1)^(n-1)n!/(n-2)，n=3,4,...
函数f(x)=x^2ln(1+x)在x=0处的麦克劳林展开式为：
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^(n)(0)x^n/n! + o(x^n)
步骤 2：求f(x)的麦克劳林展开式中x^n项的系数
由麦克劳林公式，x^2ln(1+x)的麦克劳林展开式为：
x^2ln(1+x) = x^3 - x^4/2 + x^5/3 - ... + (-1)^(n-1)x^(n+1)/(n-1) + o(x^(n+1))
步骤 3：求f(n)(0)
由麦克劳林公式，f(x)的麦克劳林展开式中x^n项的系数为f^(n)(0)/n!，所以f^(n)(0) = (-1)^(n-1)n!/(n-2)，n=3,4,...