3.求极限 lim _(xarrow 1)dfrac (sqrt [3]{x)-1}(sqrt {x)-1}

考查要点：本题主要考查0/0型不定式的极限求解方法，涉及根式的有理化处理或洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当直接代入$x=1$导致分子分母均为0时，需通过变形消除不定式。
关键方法：

1. 代数变形法：将分子分母分别有理化，约分后直接代入求极限。
2. 洛必达法则：对分子分母分别求导，简化表达式后求极限。

方法一：代数变形法

步骤1：有理化分子

分子$\sqrt[3]{x} - 1$可视为$a^3 - b^3$的形式，利用立方差公式：
$\sqrt[3]{x} - 1 = \frac{x - 1}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1} = \frac{x - 1}{x^{2/3} + x^{1/3} + 1}.$

步骤2：有理化分母

分母$\sqrt{x} - 1$可视为$a^2 - b^2$的形式，利用平方差公式：
$\sqrt{x} - 1 = \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}.$

步骤3：代入原式并约分

原式变形为：
$\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\frac{x - 1}{x^{2/3} + x^{1/3} + 1}}{\frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2/3} + x^{1/3} + 1}.$

步骤4：代入$x=1$求极限

当$x \to 1$时，$\sqrt{x} \to 1$，$x^{2/3} \to 1$，因此：
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2/3} + x^{1/3} + 1} = \frac{1 + 1}{1 + 1 + 1} = \frac{2}{3}.$

方法二：洛必达法则

步骤1：验证条件

当$x \to 1$时，分子$\sqrt[3]{x} - 1 \to 0$，分母$\sqrt{x} - 1 \to 0$，满足0/0型不定式，可应用洛必达法则。

步骤2：求导分子分母

分子导数：$\frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x} - 1) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$，
分母导数：$\frac{d}{dx} (\sqrt{x} - 1) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$。

步骤3：应用洛必达法则

极限变为：
$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3}x^{-2/3}}{\frac{1}{2}x^{-1/2}} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{3}x^{-2/3 + 1/2} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{3}x^{-1/6}.$

步骤4：代入$x=1$

$\frac{2}{3} \cdot 1^{-1/6} = \frac{2}{3}.$