题目
(1987)已知y=ln(sqrt(1+x^2)-1)/(sqrt(1+x^2))+1,求y'.
(1987)已知$y=\ln\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\sqrt{1+x^{2}}+1}$,求y'.
题目解答
答案
为了求函数 $ y = \ln \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1} $ 的导数 $ y' $，我们将使用链式法则和对数的性质。让我们一步步来。
1. **使用对数的性质重写函数：**
\[
y = \ln \left( \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1} \right) = \ln (\sqrt{1+x^2} - 1) - \ln (\sqrt{1+x^2} + 1)
\]
2. **对 $ x $ 求导：**
使用链式法则，我们知道 $ \ln u $ 的导数是 $ \frac{u'}{u} $。因此，我们有：
\[
y' = \frac{d}{dx} \left( \ln (\sqrt{1+x^2} - 1) \right) - \frac{d}{dx} \left( \ln (\sqrt{1+x^2} + 1) \right)
\]
\[
y' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} - 1} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{1+x^2} - 1 \right) - \frac{1}{\sqrt{1+x^2} + 1} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{1+x^2} + 1 \right)
\]
\[
y' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} - 1} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1+x^2} + 1} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\]
\[
y' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2} (\sqrt{1+x^2} - 1)} - \frac{x}{\sqrt{1+x^2} (\sqrt{1+x^2} + 1)}
\]
3. **合并分数：**
为了合并分数，我们需要一个公共分母，即 $ \sqrt{1+x^2} (\sqrt{1+x^2} - 1) (\sqrt{1+x^2} + 1) $。注意 $ (\sqrt{1+x^2} - 1) (\sqrt{1+x^2} + 1) = (1+x^2) - 1 = x^2 $。因此，公共分母是 $ \sqrt{1+x^2} \cdot x^2 $。
\[
y' = \frac{x (\sqrt{1+x^2} + 1) - x (\sqrt{1+x^2} - 1)}{\sqrt{1+x^2} \cdot x^2}
\]
\[
y' = \frac{x \sqrt{1+x^2} + x - x \sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2} \cdot x^2}
\]
\[
y' = \frac{2x}{\sqrt{1+x^2} \cdot x^2}
\]
\[
y' = \frac{2}{\sqrt{1+x^2} \cdot x}
\]
因此，导数 $ y' $ 是：
\[
\boxed{\frac{2}{x \sqrt{1+x^2}}}
\]
解析
步骤 1：使用对数的性质重写函数
将给定的函数 $y = \ln\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\sqrt{1+x^{2}}+1}$ 重写为两个对数的差的形式，以便于求导。
步骤 2：对 $x$ 求导
利用链式法则对重写后的函数求导，其中链式法则表示为 $\frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{u'}{u}$。
步骤 3：合并分数
将求导后的两个分数合并，找到公共分母并简化表达式。
将给定的函数 $y = \ln\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\sqrt{1+x^{2}}+1}$ 重写为两个对数的差的形式，以便于求导。
步骤 2：对 $x$ 求导
利用链式法则对重写后的函数求导，其中链式法则表示为 $\frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{u'}{u}$。
步骤 3：合并分数
将求导后的两个分数合并，找到公共分母并简化表达式。