已知 f(x)= ,xgt 0 1 ,x=0 arctan dfrac {2)(x)+a xlt 0" data-width="552" data-height="99" data-size="11794" data-format="png" style="max-width:100%">

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的极限存在性条件，涉及等价无穷小替换、泰勒展开的应用，以及左右极限相等的判断。

解题核心思路：

1. 分别计算$x \to 0^+$和$x \to 0^-$的极限，确保左右极限相等；
2. 利用等价无穷小简化计算，如$\ln(1+x^2) \sim x^2$和$x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$；
3. 结合$\arctan$函数的极限性质，处理$x < 0$时的表达式。

破题关键点：

• 右极限：分子分母同阶无穷小的化简；
• 左极限：$\arctan$函数在负无穷处的极限值；
• 等式建立：左右极限相等，解出$a$的值。

当$x \to 0^+$时

函数表达式为：
$f(x) = \frac{x \ln(1+x^2)}{x - \sin x}$

分子化简

当$x \to 0$时，$\ln(1+x^2) \sim x^2$，因此分子：
$x \ln(1+x^2) \sim x \cdot x^2 = x^3$

分母化简

利用泰勒展开$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，得：
$x - \sin x = x - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) = \frac{x^3}{6} + o(x^3) \sim \frac{x^3}{6}$

计算极限

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^3}{\frac{x^3}{6}} = 6$

当$x \to 0^-$时

函数表达式为：
$f(x) = \arctan\left(\frac{2}{x}\right) + a$

$\arctan$函数的极限

当$x \to 0^-$时，$\frac{2}{x} \to -\infty$，因此：
$\arctan\left(\frac{2}{x}\right) \to -\frac{\pi}{2}$

计算极限

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\frac{\pi}{2} + a$

极限存在条件

若$\lim_{x \to 0} f(x)$存在，则左右极限相等：
$-\frac{\pi}{2} + a = 6$

解得：
$a = 6 + \frac{\pi}{2}$