题目
问答题求极限lim_(xto0)[(1+int_(0)^x(1+t)^frac(1)/(t)dt)(x)-(1)/(sin x)].
问答题
求极限$\lim_{x\to0}\left[\frac{1+\int_{0}^{x}(1+t)^{\frac{1}{t}}dt}{x}-\frac{1}{\sin x}\right].$
题目解答
答案
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，原极限可化简为：
\[
\lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 + \int_{0}^{x} (1+t)^{\frac{1}{t}} \, dt}{x} - \frac{1}{x} \right] = \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (1+t)^{\frac{1}{t}} \, dt}{x}
\]
应用洛必达法则，分子求导得 $(1+x)^{\frac{1}{x}}$，分母求导得 1，故极限变为：
\[
\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e
\]
或者使用泰勒展开近似：
\[
(1+t)^{\frac{1}{t}} \approx e \left(1 - \frac{t}{2}\right)
\]
积分得：
\[
\int_{0}^{x} e \left(1 - \frac{t}{2}\right) \, dt \approx e \left[ x - \frac{x^2}{4} \right]
\]
代入原式并化简，结果仍为 $e$。
**答案：** $\boxed{e}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及积分与无穷小量的比较、泰勒展开、洛必达法则的应用。
解题核心思路：
- 化简表达式：利用等价无穷小 $\sin x \sim x$，将原式转化为关于积分的极限。
- 处理积分项：对被积函数 $(1+t)^{\frac{1}{t}}$ 进行泰勒展开或直接应用洛必达法则，求出积分的近似值。
- 求极限：通过展开或求导，最终得到极限值。
破题关键点：
- 识别等价无穷小：将 $\frac{1}{\sin x}$ 近似为 $\frac{1}{x}$，简化原式。
- 积分与分式结合：将积分项与分式结合，转化为可应用洛必达法则的形式。
- 灵活选择方法：既可用泰勒展开积分项，也可对分式直接求导，两种方法殊途同归。
步骤1：化简原式
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此原式可化简为：
$\lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 + \int_{0}^{x} (1+t)^{\frac{1}{t}} \, dt}{x} - \frac{1}{x} \right] = \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (1+t)^{\frac{1}{t}} \, dt}{x}.$
步骤2：应用洛必达法则
分子 $\int_{0}^{x} (1+t)^{\frac{1}{t}} \, dt$ 和分母 $x$ 均趋近于 $0$，满足 $\frac{0}{0}$ 型不定式。对分子分母分别求导：
- 分子导数：$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} (1+t)^{\frac{1}{t}} \, dt = (1+x)^{\frac{1}{x}}$
- 分母导数：$\frac{d}{dx} x = 1$
因此，极限变为：
$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e.$
步骤3（备选）：泰勒展开法
将 $(1+t)^{\frac{1}{t}}$ 展开为 $e \left(1 - \frac{t}{2} + \cdots \right)$，积分后得：
$\int_{0}^{x} e \left(1 - \frac{t}{2}\right) \, dt \approx e \left[ x - \frac{x^2}{4} \right].$
代入原式并化简，结果仍为 $e$。