题目
(17分)(2024·新课标I卷)已知A(0,-|||-3)和 (3,dfrac (3)(2)) 为椭圆 :dfrac ({x)^2}({a)^2}+dfrac ({y)^2}({b)^2}=1(agt -|||-gt 0) 上两点.-|||-(1)求C的离心率;-|||-(2)若过P的直线l交C于另一点B,且-|||-Delta ABP 的面积为9,求l的方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定椭圆方程中的参数
根据题意，点A(0, 3)和 $P(3,\dfrac {3}{2})$ 在椭圆上，代入椭圆方程 $\dfrac {{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac {{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ 中，得到两个方程：
$\dfrac {0^2}{a^2}+\dfrac {3^2}{b^2}=1$ 和 $\dfrac {3^2}{a^2}+\dfrac {\left(\dfrac {3}{2}\right)^2}{b^2}=1$。
步骤 2：求解参数a和b
解上述方程组，得到 $\dfrac {9}{b^2}=1$ 和 $\dfrac {9}{a^2}+\dfrac {9}{4b^2}=1$，从而解得 $b^2=9$ 和 $a^2=12$。
步骤 3：计算离心率
椭圆的离心率 $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\dfrac{9}{12}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$。
步骤 4：确定直线l的方程
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 $x=3$，此时 $B(3,-\dfrac{3}{2})$。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 $y=k(x-3)+\dfrac{3}{2}$，联立椭圆方程求解交点坐标，计算弦长和点A到直线l的距离，利用三角形面积公式求解。
步骤 5：求解直线l的方程
根据弦长公式和点到直线距离公式，结合三角形面积公式，解得 $k=\dfrac{1}{2}$ 或 $k=\dfrac{3}{2}$，从而得到直线l的方程为 $y=\dfrac{1}{2}x$ 或 $y=\dfrac{3}{2}x-3$。
根据题意，点A(0, 3)和 $P(3,\dfrac {3}{2})$ 在椭圆上，代入椭圆方程 $\dfrac {{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac {{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ 中，得到两个方程：
$\dfrac {0^2}{a^2}+\dfrac {3^2}{b^2}=1$ 和 $\dfrac {3^2}{a^2}+\dfrac {\left(\dfrac {3}{2}\right)^2}{b^2}=1$。
步骤 2：求解参数a和b
解上述方程组，得到 $\dfrac {9}{b^2}=1$ 和 $\dfrac {9}{a^2}+\dfrac {9}{4b^2}=1$，从而解得 $b^2=9$ 和 $a^2=12$。
步骤 3：计算离心率
椭圆的离心率 $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\dfrac{9}{12}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$。
步骤 4：确定直线l的方程
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 $x=3$，此时 $B(3,-\dfrac{3}{2})$。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 $y=k(x-3)+\dfrac{3}{2}$，联立椭圆方程求解交点坐标，计算弦长和点A到直线l的距离，利用三角形面积公式求解。
步骤 5：求解直线l的方程
根据弦长公式和点到直线距离公式，结合三角形面积公式，解得 $k=\dfrac{1}{2}$ 或 $k=\dfrac{3}{2}$，从而得到直线l的方程为 $y=\dfrac{1}{2}x$ 或 $y=\dfrac{3}{2}x-3$。