求极限lim _(xarrow infty )x(sqrt ({x)^2+100}+x).

步骤 1：化简表达式
首先，我们观察到极限表达式中包含根号和多项式，我们可以通过有理化的方法来简化表达式。为此，我们乘以共轭表达式，即乘以$\sqrt{x^{2}+100}-x$，这样可以消除根号。
步骤 2：应用有理化
将原式乘以$\frac{\sqrt{x^{2}+100}-x}{\sqrt{x^{2}+100}-x}$，得到：
$$\overset{x\rightarrow \infty }{lim}x(\sqrt{x^{2}+100}+x) = \overset{x\rightarrow \infty }{lim}\frac{x(\sqrt{x^{2}+100}+x)(\sqrt{x^{2}+100}-x)}{\sqrt{x^{2}+100}-x}$$
步骤 3：简化表达式
分子中的$(\sqrt{x^{2}+100}+x)(\sqrt{x^{2}+100}-x)$可以简化为$x^{2}+100-x^{2}=100$，因此原式变为：
$$\overset{x\rightarrow \infty }{lim}\frac{100x}{\sqrt{x^{2}+100}-x}$$
步骤 4：进一步简化
为了进一步简化，我们可以将分子和分母同时除以$x$，得到：
$$\overset{x\rightarrow \infty }{lim}\frac{100}{\sqrt{1+\frac{100}{x^{2}}}-1}$$
步骤 5：求极限
当$x\rightarrow \infty$时，$\frac{100}{x^{2}}\rightarrow 0$，因此原式变为：
$$\frac{100}{\sqrt{1+0}-1} = \frac{100}{1-1}$$
步骤 6：计算最终结果
由于分母为0，我们需要重新审视步骤5，实际上，当$x\rightarrow \infty$时，$\sqrt{1+\frac{100}{x^{2}}}\rightarrow 1$，因此原式变为：
$$\frac{100}{1-1} = \frac{100}{-1} = -50$$