当时,与相比是（） 高阶无穷小相比 低阶无穷小 等价无穷小 同阶无穷小但不等价无穷小

步骤 1：计算极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\ln ({e}^{\sin x}+\sqrt [3]{1-\cos x})$
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sin x$ 和 $\cos x$ 的值都接近 $0$，所以 ${e}^{\sin x}$ 和 $\sqrt [3]{1-\cos x}$ 的值都接近 $1$。因此，${e}^{\sin x}+\sqrt [3]{1-\cos x}$ 的值接近 $2$，所以 $n({e}^{\sin x}+\sqrt [3]{1-\cos x})$ 的值接近 $n2$。

步骤 2：计算极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\arcsin (\sqrt [3]{1-\cos x})$
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\cos x$ 的值接近 $1$，所以 $1-\cos x$ 的值接近 $0$。而 $\sqrt [3]{1-\cos x}$ 的值接近 $0$ 的立方根，即 $0$。因此，$r\cos (\sqrt [3]{1-\cos x})$ 的值接近 $r\cos 0=0$。

步骤 3：比较两个极限
综上所述，$n({e}^{\sin x}+\sqrt [3]{1-\cos x})$ 的极限是一个非零常数，而 $r\cos (\sqrt [3]{1-\cos x})$ 的极限是 $0$。所以它们不是同阶无穷小，也不是等价无穷小。因为非零常数和 $0$ 的比较结果是"高阶无穷小相比"（选项为正确选项）。