求极限lim _(narrow infty )(dfrac (1)({n)^2+n+1}+dfrac (2)({n)^2+n+2}+... +dfrac (n)({n)^2+n+n})=_____.

步骤 1：确定每一项的范围
对于每一项$\dfrac{i}{{n}^{2}+n+i}$，其中$i$从$1$到$n$，我们有：
$$\dfrac{i}{{n}^{2}+n+n} \leq \dfrac{i}{{n}^{2}+n+i} \leq \dfrac{i}{{n}^{2}+n+1}$$
步骤 2：求和
将上述不等式对$i$从$1$到$n$求和，得到：
$$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{i}{{n}^{2}+n+n} \leq \sum_{i=1}^{n}\dfrac{i}{{n}^{2}+n+i} \leq \sum_{i=1}^{n}\dfrac{i}{{n}^{2}+n+1}$$
步骤 3：计算求和的极限
计算求和的极限，我们有：
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{i}{{n}^{2}+n+n} = \lim_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{2}n(n+1)}{{n}^{2}+n+n} = \dfrac{1}{2}$$
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{i}{{n}^{2}+n+1} = \lim_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{2}n(n+1)}{{n}^{2}+n+1} = \dfrac{1}{2}$$
步骤 4：应用夹逼准则
根据夹逼准则，我们得到：
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{i}{{n}^{2}+n+i} = \dfrac{1}{2}$$