题目

练习 （2021,1）设A=[a_(ij)]为三阶矩阵，A_(ij)为元素a_(ij)的代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A|=3，则A_(11)+A_(21)+A_(31)=____.

练习 （2021,1）设$A=[a_{ij}]$为三阶矩阵，$A_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且$|A|=3$，则$A_{11}+A_{21}+A_{31}=$____.

题目解答

答案

设 $ A = [a_{ij}] $，由题意知每行元素和为2，即 $ a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 2 $。构造向量 $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $，则 $ A\mathbf{v} = 2\mathbf{v} $，说明 $ \mathbf{v} $ 是 $ A $ 的特征向量，特征值为2。 利用伴随矩阵性质 $ AA^* = |A|I = 3I $，得 $ A^*A\mathbf{v} = 3\mathbf{v} $。代入 $ A\mathbf{v} = 2\mathbf{v} $，有 $ A^*(2\mathbf{v}) = 3\mathbf{v} $，即 $ A^*\mathbf{v} = \frac{3}{2}\mathbf{v} $。 因此，$ A^* $ 的第一列元素和（即 $ A_{11} + A_{21} + A_{31} $）等于 $ \frac{3}{2} $。 答案：$\boxed{\frac{3}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查代数余子式的性质、伴随矩阵的应用，以及特征值与特征向量的理解。
解题核心思路：

  1. 利用每行元素和为2的条件，构造特征向量，得出矩阵$A$的特征值为2；
  2. 结合行列式$|A|=3$，利用伴随矩阵的性质 $AA^* = |A|I$，建立方程；
  3. 通过特征向量与伴随矩阵的关系，直接求出代数余子式之和。

破题关键点：

  • 识别特征向量：每行和相同，说明向量$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$是$A$的特征向量；
  • 关联伴随矩阵与特征值：通过$A^*$与$A$的关系，将问题转化为特征值的计算。

步骤1：构造特征向量

由题意，矩阵$A$每行元素之和为2，即对任意行$i$，有：
$a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 2.$
构造向量$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，则：
$A\mathbf{v} = 2\mathbf{v},$
说明$\mathbf{v}$是$A$的特征向量，对应特征值$\lambda = 2$。

步骤2：利用伴随矩阵性质

根据伴随矩阵的定义，有：
$AA^* = |A|I = 3I.$
将等式两边同时左乘$\mathbf{v}$，得：
$A^*(A\mathbf{v}) = 3\mathbf{v}.$
代入$A\mathbf{v} = 2\mathbf{v}$，得：
$A^*(2\mathbf{v}) = 3\mathbf{v} \implies A^*\mathbf{v} = \frac{3}{2}\mathbf{v}.$

步骤3：求代数余子式之和

伴随矩阵$A^*$的第一列元素为$A_{11}, A_{21}, A_{31}$，因此：
$A^*\mathbf{v} = \begin{pmatrix} A_{11} \\ A_{21} \\ A_{31} \end{pmatrix} \cdot 1 + \begin{pmatrix} A_{12} \\ A_{22} \\ A_{32} \end{pmatrix} \cdot 1 + \begin{pmatrix} A_{13} \\ A_{23} \\ A_{33} \end{pmatrix} \cdot 1.$
但根据$A^*\mathbf{v} = \frac{3}{2}\mathbf{v}$，第一列对应的结果为：
$A_{11} + A_{21} + A_{31} = \frac{3}{2}.$