题目

22.当x→0时，将无穷小量α=x^3，β=sqrt(1+x^2)-1，γ=e^2x-1排列，使排在后面的是前面的高阶无穷小，则排列正确的是（） A.α,β,γ B.λ,α,β C.α,γ,β D.γ,β,α

22.当x→0时，将无穷小量$α=x^{3}$，$β=\sqrt{1+x^{2}}-1$，$γ=e^{2x}-1$排列，使排在后面的是前面的高阶无穷小，则排列正确的是（）
A.α,β,γ
B.λ,α,β
C.α,γ,β
D.γ,β,α

题目解答

答案

当 $x \to 0$ 时，各无穷小量的阶数如下： - $\alpha = x^3$ 是三阶无穷小（$\alpha \sim x^3$）。 - $\beta = \sqrt{1 + x^2} - 1$ 通过泰勒展开得 $\beta \sim \frac{x^2}{2}$，为二阶无穷小。 - $\gamma = e^{2x} - 1$ 通过泰勒展开得 $\gamma \sim 2x$，为一阶无穷小。 按题目要求，排在后面的无穷小量是前面的高阶无穷小，即低阶无穷小量排在前面。因此，正确的排列顺序为 $\gamma$（一阶）→ $\beta$（二阶）→ $\alpha$（三阶）。 **答案：** $\boxed{D}$

解析

考查要点：本题主要考查无穷小量的阶数比较，需要利用泰勒展开或等价无穷小替换确定各函数在$x \to 0$时的主部，进而比较阶数高低。

解题核心思路：

  1. 确定各无穷小量的主部：通过泰勒展开或等价无穷小替换，找到每个函数在$x \to 0$时的等价表达式。
  2. 比较阶数：根据主部中$x$的幂次，判断各无穷小量的阶数高低。
  3. 排序规则：题目要求“后面的每个是前面的高阶无穷小”，即低阶在前，高阶在后。

破题关键点：

  • α的主部：直接由$x^3$确定为三阶无穷小。
  • β的主部：展开$\sqrt{1+x^2}$至二次项，得到$\beta \sim \frac{x^2}{2}$。
  • γ的主部：展开$e^{2x}$至一次项，得到$\gamma \sim 2x$。

分析各无穷小量的阶数

1. α = x³

  • 直接观察可知，当$x \to 0$时，$\alpha$的主部为$x^3$，是三阶无穷小。

2. β = √(1+x²) − 1

  • 对$\sqrt{1+x^2}$进行泰勒展开：
    $\sqrt{1+x^2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + \cdots$
  • 因此，$\beta = \sqrt{1+x^2} - 1 \sim \frac{x^2}{2}$，是二阶无穷小。

3. γ = e²x − 1

  • 对$e^{2x}$进行泰勒展开：
    $e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \cdots$
  • 因此，$\gamma = e^{2x} - 1 \sim 2x$，是一阶无穷小。

排序规则验证

  • γ（一阶） → β（二阶） → α（三阶）：每个后面的无穷小量均为前面的高阶无穷小，符合题意。