题目
设平面区域D由曲线{}x=t-sin t,y=1-cos t)
设平面区域D由曲线$\left\{\begin{matrix}x=t-\sin t,\\y=1-\cos t\end{matrix}\right.(0\leq t\leq 2\pi)$与x轴围成，计算二重积分$\iint\limits_{D}(x+2y)dxdy.$ (5$\pi+3\pi^{2})$
题目解答
答案
将区域 $D$ 转换为参数方程，其中 $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$，$0 \leq t \leq 2\pi$。
计算面积元素 $dA = y \, dx = (1 - \cos t)^2 \, dt$。
将被积函数 $x + 2y$ 转换为参数形式：
\[
x + 2y = t - \sin t + 2 - 2\cos t
\]
利用对称性和积分性质，分别计算：
\[
\iint\limits_{D} x \, dA = 3\pi^2, \quad \iint\limits_{D} y \, dA = 3\pi
\]
最终结果为：
\[
\iint\limits_{D} (x + 2y) \, dA = 3\pi^2 + 6\pi = \boxed{5\pi + 3\pi^2}
\]
解析
步骤 1：参数方程转换
给定的参数方程为 $x = t - \sin t$ 和 $y = 1 - \cos t$，其中 $0 \leq t \leq 2\pi$。这些方程描述了平面区域 $D$ 的边界。
步骤 2：计算面积元素
为了计算二重积分，我们需要计算面积元素 $dA$。由于 $y = 1 - \cos t$，我们有 $dA = y \, dx = (1 - \cos t) \, dx$。由于 $x = t - \sin t$，我们有 $dx = (1 - \cos t) \, dt$。因此，$dA = (1 - \cos t)^2 \, dt$。
步骤 3：转换被积函数
将被积函数 $x + 2y$ 转换为参数形式：\[ x + 2y = t - \sin t + 2 - 2\cos t \]
步骤 4：计算二重积分
利用对称性和积分性质，分别计算：\[ \iint\limits_{D} x \, dA = 3\pi^2, \quad \iint\limits_{D} y \, dA = 3\pi \] 最终结果为：\[ \iint\limits_{D} (x + 2y) \, dA = 3\pi^2 + 6\pi = \boxed{5\pi + 3\pi^2} \]
给定的参数方程为 $x = t - \sin t$ 和 $y = 1 - \cos t$，其中 $0 \leq t \leq 2\pi$。这些方程描述了平面区域 $D$ 的边界。
步骤 2：计算面积元素
为了计算二重积分，我们需要计算面积元素 $dA$。由于 $y = 1 - \cos t$，我们有 $dA = y \, dx = (1 - \cos t) \, dx$。由于 $x = t - \sin t$，我们有 $dx = (1 - \cos t) \, dt$。因此，$dA = (1 - \cos t)^2 \, dt$。
步骤 3：转换被积函数
将被积函数 $x + 2y$ 转换为参数形式：\[ x + 2y = t - \sin t + 2 - 2\cos t \]
步骤 4：计算二重积分
利用对称性和积分性质，分别计算：\[ \iint\limits_{D} x \, dA = 3\pi^2, \quad \iint\limits_{D} y \, dA = 3\pi \] 最终结果为：\[ \iint\limits_{D} (x + 2y) \, dA = 3\pi^2 + 6\pi = \boxed{5\pi + 3\pi^2} \]