例2.1.6 证明函数 f(x)=|x| 在 x=0 处连续但不可导.

考查要点：本题主要考查函数在某一点的连续性和可导性的判断方法，以及导数几何意义的理解。

解题核心思路：

1. 连续性：验证函数在$x=0$处的极限值是否等于函数值。
2. 可导性：通过左右导数是否存在且相等来判断导数是否存在。若左右导数不相等，则函数在该点不可导。

破题关键点：

• 连续性的关键在于计算$\lim_{x \to 0} |x|$是否等于$f(0)$。
• 可导性的关键在于分别计算$\Delta x \to 0^+$和$\Delta x \to 0^-$时的差商极限，发现两者不相等。

1. 验证连续性

根据连续的定义，若$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，则函数在$x=0$处连续。

• 计算极限：$\lim_{x \to 0} |x| = 0$。
• 比较函数值：$f(0) = |0| = 0$。
• 结论：$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，故$f(x)$在$x=0$处连续。

2. 验证可导性

根据导数定义，若$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+\Delta x) - f(0)}{\Delta x}$存在，则函数在$x=0$处可导。

• 差商表达式：$\frac{|\Delta x| - 0}{\Delta x} = \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$。
• 分左右极限计算：
  • 当$\Delta x \to 0^+$：$\Delta x > 0$，故$\frac{|\Delta x|}{\Delta x} = 1$，右导数为$1$。
  • 当$\Delta x \to 0^-$：$\Delta x < 0$，故$\frac{|\Delta x|}{\Delta x} = -1$，左导数为$-1$。
• 结论：左右导数不相等，故$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$不存在，函数在$x=0$处不可导。