(3)lim _(xarrow 1)dfrac (ln (2-x)arctan x)(sin ({x)^2-1)}

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是等价无穷小替换和洛必达法则的应用，以及对复合函数在特定点附近展开的理解。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 1$时，分子$\ln(2-x)\arctan x$和分母$\sin(x^2-1)$均趋近于$0$，形成$\frac{0}{0}$型不定式。此时可选择等价无穷小替换或洛必达法则简化计算。关键在于将分子和分母中的函数展开为低阶项，或通过求导消去零因子。

破题关键点：

1. 变量替换：令$t = x - 1$，将$x \rightarrow 1$转化为$t \rightarrow 0$，简化表达式。
2. 等价无穷小替换：利用$\ln(1-t) \approx -t$和$\sin(2t) \approx 2t$，快速化简分子和分母。
3. 洛必达法则：对分子和分母分别求导，直接计算极限。

步骤1：变量替换
令$t = x - 1$，当$x \rightarrow 1$时，$t \rightarrow 0$。原式变形为：
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(1 - t) \cdot \arctan(1 + t)}{\sin(2t + t^2)}$

步骤2：等价无穷小替换

• $\ln(1 - t) \approx -t$（当$t \rightarrow 0$时）
• $\sin(2t + t^2) \approx 2t$（当$t \rightarrow 0$时，$t^2$可忽略）
• $\arctan(1 + t) \approx \frac{\pi}{4} + \frac{t}{2}$（泰勒展开一阶近似）

步骤3：代入近似式化简
分子：
$\ln(1 - t) \cdot \arctan(1 + t) \approx (-t) \cdot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{t}{2}\right) = -\frac{\pi t}{4} - \frac{t^2}{2}$
分母：
$\sin(2t + t^2) \approx 2t$
因此，原式化简为：
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{-\frac{\pi t}{4} - \frac{t^2}{2}}{2t} = \lim_{t \rightarrow 0} \left( -\frac{\pi}{8} - \frac{t}{4} \right) = -\frac{\pi}{8}$

步骤4（备选）：洛必达法则验证
对分子和分母分别求导：

• 分子导数：
  $\frac{d}{dx} \left[ \ln(2 - x) \cdot \arctan x \right] = -\frac{\arctan x}{2 - x} + \frac{\ln(2 - x)}{1 + x^2}$
  代入$x = 1$得：
  $-\frac{\pi/4}{1} + \frac{0}{2} = -\frac{\pi}{4}$
• 分母导数：
  $\frac{d}{dx} \left[ \sin(x^2 - 1) \right] = 2x \cos(x^2 - 1)$
  代入$x = 1$得：
  $2 \cdot 1 \cdot \cos(0) = 2$
  因此，极限值为：
  $\frac{-\pi/4}{2} = -\frac{\pi}{8}$