题目
lim _(x arrow 2) (sin xy)/(y) = ( ) A. inftyB. 0C. 1D. 2
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sin xy}{y} = (\quad)$
- A. $\infty$
- B. 0
- C. 1
- D. 2
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{x \to 2} \frac{\sin xy}{y}$，我们需要考虑 $y$ 的值。但是，题目中没有明确 $y$ 的值，所以我们需要分情况讨论。
### 情况1: $y \neq 0$
如果 $y \neq 0$，那么我们可以直接将 $x = 2$ 代入表达式中：
\[
\lim_{x \to 2} \frac{\sin xy}{y} = \frac{\sin 2y}{y}
\]
这个极限的值取决于 $y$ 的值，但 Importantly, 它是一个有限的值，而不是 $\infty$。
### 情况2: $y = 0$
如果 $y = 0$，那么表达式 $\frac{\sin xy}{y}$ 就变成了 $\frac{\sin 0}{0}$，这是 indeterminate $\frac{0}{0}$ 型的未定式。对于这种未定式，我们可以使用洛必达法则，或者利用 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ 这个重要极限。
令 $u = xy$，当 $x \to 2$ 时， $u \to 2y$。如果 $y = 0$，那么 $u \to 0$。所以，我们有：
\[
\lim_{x \to 2} \frac{\sin xy}{y} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{2}} = \lim_{u \to 0} 2 \cdot \frac{\sin u}{u} = 2 \cdot 1 = 2
\]
### 结论
根据以上分析，如果 $y = 0$，极限为 2；如果 $y \neq 0$，极限为 $\frac{\sin 2y}{y}$。由于题目中没有明确 $y$ 的值，我们无法确定一个唯一的答案。但是，根据题目中给出的选项，我们可以推断 $y$ 有可能被假设为 0，因为只有选项 D (2) 是一个可能的极限值。
因此，答案是:
\[
\boxed{D}
\]
解析
步骤 1：分析极限表达式
给定的极限表达式是 $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sin xy}{y}$。为了求解这个极限，我们需要考虑 $y$ 的值。题目中没有明确给出 $y$ 的值，因此我们需要分情况讨论。
步骤 2：讨论 $y \neq 0$ 的情况
如果 $y \neq 0$，我们可以直接将 $x = 2$ 代入表达式中，得到 $\frac{\sin 2y}{y}$。这个表达式的值取决于 $y$ 的值，但它是有限的，不是无穷大。
步骤 3：讨论 $y = 0$ 的情况
如果 $y = 0$，则表达式 $\frac{\sin xy}{y}$ 变为 $\frac{\sin 0}{0}$，这是一个未定式 $\frac{0}{0}$。我们可以使用洛必达法则或利用重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ 来求解。令 $u = xy$，当 $x \to 2$ 时，$u \to 2y$。如果 $y = 0$，则 $u \to 0$。因此，我们有：
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin xy}{y} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{2}} = \lim_{u \to 0} 2 \cdot \frac{\sin u}{u} = 2 \cdot 1 = 2 \]
给定的极限表达式是 $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sin xy}{y}$。为了求解这个极限，我们需要考虑 $y$ 的值。题目中没有明确给出 $y$ 的值，因此我们需要分情况讨论。
步骤 2：讨论 $y \neq 0$ 的情况
如果 $y \neq 0$，我们可以直接将 $x = 2$ 代入表达式中，得到 $\frac{\sin 2y}{y}$。这个表达式的值取决于 $y$ 的值，但它是有限的，不是无穷大。
步骤 3：讨论 $y = 0$ 的情况
如果 $y = 0$，则表达式 $\frac{\sin xy}{y}$ 变为 $\frac{\sin 0}{0}$，这是一个未定式 $\frac{0}{0}$。我们可以使用洛必达法则或利用重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ 来求解。令 $u = xy$，当 $x \to 2$ 时，$u \to 2y$。如果 $y = 0$，则 $u \to 0$。因此，我们有：
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin xy}{y} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{2}} = \lim_{u \to 0} 2 \cdot \frac{\sin u}{u} = 2 \cdot 1 = 2 \]