题目
求曲线 =dfrac (1)({x)^2-1} 的渐近线.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $y=\dfrac {1}{{x}^{2}-1}$ 的定义域为所有实数，除了使分母为零的点。由于 ${x}^{2}-1=(x-1)(x+1)$，因此当 $x=-1$ 和 $x=1$ 时，函数没有定义。
步骤 2：确定铅直渐近线
铅直渐近线出现在函数的定义域中函数值趋向于无穷大的点。由于当 $x$ 接近 $-1$ 和 $1$ 时，分母 ${x}^{2}-1$ 接近于零，函数值趋向于无穷大。因此，$x=-1$ 和 $x=1$ 是铅直渐近线。
步骤 3：确定水平渐近线
水平渐近线出现在当 $x$ 趋向于无穷大时，函数值趋向于某个常数。计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }y=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{{x}^{2}-1}$。由于分母 ${x}^{2}-1$ 趋向于无穷大，函数值趋向于 $0$。因此，$y=0$ 是水平渐近线。
函数 $y=\dfrac {1}{{x}^{2}-1}$ 的定义域为所有实数，除了使分母为零的点。由于 ${x}^{2}-1=(x-1)(x+1)$，因此当 $x=-1$ 和 $x=1$ 时，函数没有定义。
步骤 2：确定铅直渐近线
铅直渐近线出现在函数的定义域中函数值趋向于无穷大的点。由于当 $x$ 接近 $-1$ 和 $1$ 时，分母 ${x}^{2}-1$ 接近于零，函数值趋向于无穷大。因此，$x=-1$ 和 $x=1$ 是铅直渐近线。
步骤 3：确定水平渐近线
水平渐近线出现在当 $x$ 趋向于无穷大时，函数值趋向于某个常数。计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }y=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{{x}^{2}-1}$。由于分母 ${x}^{2}-1$ 趋向于无穷大，函数值趋向于 $0$。因此，$y=0$ 是水平渐近线。