12.求下列函数的极限.-|||-(7) lim _(xarrow infty )((dfrac {x+3)(x-1))}^x+1;

考查要点：本题主要考查无穷大极限的计算，特别是涉及底数趋近于1、指数趋向于无穷大的复合函数极限。需要灵活运用自然对数的极限形式和等价无穷小替换。

解题核心思路：

1. 将底数$\dfrac{x+3}{x-1}$变形为$1+\dfrac{4}{x-1}$，使其符合$\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^x$的结构；
2. 通过变量替换或直接展开对数，将原式转化为与$e^a$相关的形式；
3. 利用极限运算性质化简，最终得到结果。

破题关键点：

• 识别底数趋近于1的结构，并将其改写为$1+\dfrac{a}{x}$的形式；
• 正确处理指数中的$x+1$与分母中的$x-1$的关系，通过变量替换或展开对数简化表达式。

步骤1：化简底数
将$\dfrac{x+3}{x-1}$变形为：
$\dfrac{x+3}{x-1} = 1 + \dfrac{4}{x-1}.$

步骤2：变量替换
令$t = x-1$，当$x \to \infty$时，$t \to \infty$。此时原式变为：
$\left(1 + \dfrac{4}{t}\right)^{t + 2}.$

步骤3：拆分表达式
将指数拆分为$t$和$2$两部分：
$\left(1 + \dfrac{4}{t}\right)^t \cdot \left(1 + \dfrac{4}{t}\right)^2.$

步骤4：计算各部分极限

1. $\left(1 + \dfrac{4}{t}\right)^t \to e^4$（根据极限公式$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \dfrac{a}{t}\right)^t = e^a$）；
2. $\left(1 + \dfrac{4}{t}\right)^2 \to 1$（因$\dfrac{4}{t} \to 0$）。

步骤5：综合结果
两部分相乘得：
$e^4 \cdot 1 = e^4.$