题目
解答题-|||-函数 f(x)= { , xgt 0 a-1, x=0 .-|||-(1)当a,b为何值时,f(x)在 x=0 处存在极限?-|||-(2)当a,b为何值时,f(x)在 x=0 处连续?
题目解答
答案
解析
步骤 1：求左极限
当$x<0$时，$f(x)=x^2-2$，因此$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(x^2-2)=-2$。
步骤 2：求右极限
当$x>0$时，$f(x)=\dfrac{\ln(1+bx)}{x}$，因此$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}$。利用洛必达法则，$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{b}{1+bx}=b$。
步骤 3：求极限存在条件
要使$f(x)$在$x=0$处存在极限，必须满足$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)$，即$-2=b$，因此$b=-2$。
步骤 4：求连续条件
要使$f(x)$在$x=0$处连续，必须满足$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)$，即$-2=b=a-1$，因此$a=-1$，$b=-2$。
当$x<0$时，$f(x)=x^2-2$，因此$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(x^2-2)=-2$。
步骤 2：求右极限
当$x>0$时，$f(x)=\dfrac{\ln(1+bx)}{x}$，因此$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}$。利用洛必达法则，$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{b}{1+bx}=b$。
步骤 3：求极限存在条件
要使$f(x)$在$x=0$处存在极限，必须满足$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)$，即$-2=b$，因此$b=-2$。
步骤 4：求连续条件
要使$f(x)$在$x=0$处连续，必须满足$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)$，即$-2=b=a-1$，因此$a=-1$，$b=-2$。