题目
36、y^primeprime+y=0 y^primeprime+y=0的通解包含sin xsin x和cos xcos xA 对B 错
36、$y^{\prime\prime}+y=0$ $y^{\prime\prime}+y=0$的通解包含$\sin x\sin x$和$\cos x\cos x$
A 对
B 错
题目解答
答案
微分方程 $y'' + y = 0$ 的特征根为 $r = \pm i$,通解为 $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$。
而 $\sin x \sin x = \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$,$\cos x \cos x = \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$,均包含 $\cos 2x$ 项。
通解中无 $\cos 2x$,故不包含 $\sin^2 x$ 和 $\cos^2 x$。
答案:$\boxed{B}$
解析
考查要点:本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的通解形式,以及三角函数平方项的表达式是否属于该通解空间。
解题核心思路:
- 特征方程法:通过求解特征方程确定微分方程的通解形式。
- 三角恒等式:将$\sin^2 x$和$\cos^2 x$转化为包含$\cos 2x$的表达式,判断其是否属于通解的线性组合范围。
破题关键点:
- 通解结构:方程$y'' + y = 0$的通解为$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$,仅包含$\cos x$和$\sin x$的一次项。
- 平方项的转化:$\sin^2 x$和$\cos^2 x$均包含$\cos 2x$项,而原方程的通解中无法生成$\cos 2x$,因此通解不包含平方项。
步骤1:求解微分方程的通解
微分方程$y'' + y = 0$的特征方程为:
$r^2 + 1 = 0$
解得特征根为:
$r = \pm i$
因此,通解为:
$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$
步骤2:分析$\sin^2 x$和$\cos^2 x$的表达式
利用三角恒等式:
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
可见,$\sin^2 x$和$\cos^2 x$均包含$\cos 2x$项。
步骤3:判断是否属于通解空间
通解$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$中仅包含$\cos x$和$\sin x$的一次项,而$\cos 2x$对应的特征根为$\pm 2i$,与原方程的特征根$i$不同。因此,$\cos 2x$无法通过$\cos x$和$\sin x$的线性组合得到,通解不包含$\sin^2 x$和$\cos^2 x$。