求lim _(xarrow +infty )x(sqrt ({x)^2+1}-x)

步骤 1：化简表达式
首先，我们观察到表达式$x(\sqrt{x^2+1}-x)$在$x$趋向于正无穷时，直接计算会遇到困难。因此，我们考虑通过有理化的方法来简化表达式。具体地，我们乘以$\sqrt{x^2+1}+x$的共轭表达式，即$\sqrt{x^2+1}+x$，以消除根号。
步骤 2：有理化
将原表达式乘以$\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x}$，得到：
$$x(\sqrt{x^2+1}-x) \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{x(x^2+1-x^2)}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}$$
步骤 3：计算极限
现在，我们计算$x$趋向于正无穷时，$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}$的极限。由于$x$趋向于正无穷，我们可以将分子和分母同时除以$x$，得到：
$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1}$$
当$x$趋向于正无穷时，$\frac{1}{x^2}$趋向于0，因此：
$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{2}$$