题目
函数 =arcsin sqrt (1-{x)^2}+dfrac (1)(sqrt {1-{x)^2}} 的定义域为 __ 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $\arcsin \sqrt {1-{x}^{2}}$ 的定义域
$\arcsin$ 函数的定义域为 $[-1,1]$，因此 $\sqrt {1-{x}^{2}}$ 的值域也必须在 $[-1,1]$ 内。由于 $\sqrt {1-{x}^{2}}$ 的值域为 $[0,1]$，所以 $\sqrt {1-{x}^{2}}$ 的定义域为 $[-1,1]$。
步骤 2：确定 $\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ 的定义域
$\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ 的定义域要求分母不为零，即 $1-{x}^{2} > 0$，解得 $-1 < x < 1$。
步骤 3：确定函数 $y=\arcsin \sqrt {1-{x}^{2}}+\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ 的定义域
函数 $y=\arcsin \sqrt {1-{x}^{2}}+\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ 的定义域为两个部分定义域的交集，即 $(-1,1)$。
$\arcsin$ 函数的定义域为 $[-1,1]$，因此 $\sqrt {1-{x}^{2}}$ 的值域也必须在 $[-1,1]$ 内。由于 $\sqrt {1-{x}^{2}}$ 的值域为 $[0,1]$，所以 $\sqrt {1-{x}^{2}}$ 的定义域为 $[-1,1]$。
步骤 2：确定 $\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ 的定义域
$\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ 的定义域要求分母不为零，即 $1-{x}^{2} > 0$，解得 $-1 < x < 1$。
步骤 3：确定函数 $y=\arcsin \sqrt {1-{x}^{2}}+\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ 的定义域
函数 $y=\arcsin \sqrt {1-{x}^{2}}+\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ 的定义域为两个部分定义域的交集，即 $(-1,1)$。