题目
205 设f(u)为连续函数，且int_(0)^xtf(2x-t)dt=(1)/(2)(1+x^2)，f(1)=1.则int_(1)^2f(x)dx= (A.)(1)/(4). (B.)(1)/(2). (C.)(3)/(4). (D.)1.
205 设f(u)为连续函数，且$\int_{0}^{x}tf(2x-t)dt=\frac{1}{2}(1+x^{2})$，f(1)=1.则$\int_{1}^{2}f(x)dx=$ (
A.)$\frac{1}{4}$. (
B.)$\frac{1}{2}$. (
C.)$\frac{3}{4}$. (
D.)1.
A.)$\frac{1}{4}$. (
B.)$\frac{1}{2}$. (
C.)$\frac{3}{4}$. (
D.)1.
题目解答
答案
令 $u = 2x - t$，则原积分变为：
\[
\int_{x}^{2x} (2x - u) f(u) \, du = 2x \int_{x}^{2x} f(u) \, du - \int_{x}^{2x} u f(u) \, du
\]
对等式两边求导得：
\[
2 \int_{x}^{2x} f(u) \, du - x f(x) = x
\]
令 $x = 1$，代入 $f(1) = 1$：
\[
2 \int_{1}^{2} f(u) \, du - 1 = 1 \implies \int_{1}^{2} f(u) \, du = 1
\]
答案：$\boxed{D}$
解析
步骤 1：变量替换
令 $u = 2x - t$，则 $t = 2x - u$，$dt = -du$。当 $t = 0$ 时，$u = 2x$；当 $t = x$ 时，$u = x$。因此，原积分变为：
\[ \int_{0}^{x} tf(2x-t) \, dt = \int_{2x}^{x} (2x-u) f(u) (-du) = \int_{x}^{2x} (2x-u) f(u) \, du \]
步骤 2：积分展开
将积分展开为两个部分：
\[ \int_{x}^{2x} (2x-u) f(u) \, du = 2x \int_{x}^{2x} f(u) \, du - \int_{x}^{2x} u f(u) \, du \]
步骤 3：等式两边求导
对等式两边关于 $x$ 求导，得到：
\[ \frac{d}{dx} \left( 2x \int_{x}^{2x} f(u) \, du - \int_{x}^{2x} u f(u) \, du \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}(1+x^{2}) \right) \]
步骤 4：应用导数公式
应用导数公式，得到：
\[ 2 \int_{x}^{2x} f(u) \, du - x f(x) = x \]
步骤 5：代入 $x = 1$
代入 $x = 1$，并利用 $f(1) = 1$，得到：
\[ 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du - 1 = 1 \]
步骤 6：求解积分
解得：
\[ \int_{1}^{2} f(u) \, du = 1 \]
令 $u = 2x - t$，则 $t = 2x - u$，$dt = -du$。当 $t = 0$ 时，$u = 2x$；当 $t = x$ 时，$u = x$。因此，原积分变为：
\[ \int_{0}^{x} tf(2x-t) \, dt = \int_{2x}^{x} (2x-u) f(u) (-du) = \int_{x}^{2x} (2x-u) f(u) \, du \]
步骤 2：积分展开
将积分展开为两个部分：
\[ \int_{x}^{2x} (2x-u) f(u) \, du = 2x \int_{x}^{2x} f(u) \, du - \int_{x}^{2x} u f(u) \, du \]
步骤 3：等式两边求导
对等式两边关于 $x$ 求导，得到：
\[ \frac{d}{dx} \left( 2x \int_{x}^{2x} f(u) \, du - \int_{x}^{2x} u f(u) \, du \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}(1+x^{2}) \right) \]
步骤 4：应用导数公式
应用导数公式，得到：
\[ 2 \int_{x}^{2x} f(u) \, du - x f(x) = x \]
步骤 5：代入 $x = 1$
代入 $x = 1$，并利用 $f(1) = 1$，得到：
\[ 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du - 1 = 1 \]
步骤 6：求解积分
解得：
\[ \int_{1}^{2} f(u) \, du = 1 \]