题目
[题目]已知f((x)在 x=0 处可导,且 (0)=0, 则-|||-lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2f(x)-2f((x)^3)}({x)^3}=() ()-|||-A. -2f'(0)-|||-B. -f'(0)-|||-C.f`(0)-|||-D.0
题目解答
答案
解析
步骤 1：将原式进行变形
原式可以写成 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}f(x)-2f({x}^{3})}{{x}^{3}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}-2\dfrac {f({x}^{3})-f(0)}{{x}^{3}}$
步骤 2：利用导数定义
由于f(x)在 x=0 处可导，所以 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}=f'(0)$
步骤 3：计算极限
将步骤2的结果代入步骤1的变形式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}f(x)-2f({x}^{3})}{{x}^{3}}=f'(0)-2f'(0)=-f'(0)$
原式可以写成 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}f(x)-2f({x}^{3})}{{x}^{3}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}-2\dfrac {f({x}^{3})-f(0)}{{x}^{3}}$
步骤 2：利用导数定义
由于f(x)在 x=0 处可导，所以 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}=f'(0)$
步骤 3：计算极限
将步骤2的结果代入步骤1的变形式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}f(x)-2f({x}^{3})}{{x}^{3}}=f'(0)-2f'(0)=-f'(0)$