设矩阵d`v均为d`v阶方阵,若d`v与d`v同解,则( ).d`v仅有零解 d`v仅有零解 d`v与d`v同解 d`v与d`v同解

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组同解的条件，以及矩阵乘积的零空间关系。

解题核心思路：
若齐次方程组 $AX=0$ 与 $BX=0$ 同解，则它们的解空间完全相同，即 $A$ 和 $B$ 的零空间相同。进一步分析矩阵乘积 $AB$ 和 $BA$ 的零空间关系，利用 矩阵乘积的秩性质 和 零空间包含关系，推导出 $ABX=0$ 与 $BA X=0$ 的解空间是否相同。

破题关键点：

1. 同解方程组的零空间相等：$N(A) = N(B)$。
2. 矩阵乘积的零空间关系：若 $X \in N(A)$，则 $ABX = A(BX) = A \cdot 0 = 0$，同理若 $X \in N(B)$，则 $BA X = B(A X) = B \cdot 0 = 0$。
3. 结论：$ABX=0$ 和 $BA X=0$ 的解空间均为 $N(A) = N(B)$，因此两者同解。

关键步骤分析：

1. 同解方程组的性质：
   已知 $AX=0$ 与 $BX=0$ 同解，说明它们的解空间完全相同，即 $A$ 和 $B$ 的零空间相等，即 $N(A) = N(B)$。

2. 分析 $ABX=0$ 的解空间：

   • 若 $X \in N(A)$，则 $AX=0$，因此 $ABX = A(BX) = A \cdot 0 = 0$，即 $X$ 是 $ABX=0$ 的解。
   • 反之，若 $ABX=0$，则 $B X \in N(A)$，即 $B X \in N(B)$（因 $N(A)=N(B)$），故 $B X = 0$，从而 $X \in N(B) = N(A)$。
   • 因此，$ABX=0$ 的解空间为 $N(A) = N(B)$。

3. 分析 $BA X=0$ 的解空间：

   • 若 $X \in N(B)$，则 $BX=0$，因此 $BA X = B(A X) = B \cdot 0 = 0$，即 $X$ 是 $BA X=0$ 的解。
   • 反之，若 $BA X=0$，则 $A X \in N(B)$，即 $A X \in N(A)$（因 $N(A)=N(B)$），故 $A X = 0$，从而 $X \in N(A) = N(B)$。
   • 因此，$BA X=0$ 的解空间也为 $N(A) = N(B)$。

4. 结论：
   $ABX=0$ 与 $BA X=0$ 的解空间完全相同，故两者同解。