题目

求int dfrac (dx)(1+sqrt [3]{x+1)}.

求 $\int_{ }^{ }\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt[3]{x+1}}$ .

题目解答

答案

作变量代换： $\sqrt[3]{x+1}=t$ ，则 $x=t^3-1$ ， $dx=3t^2dt$ .代入 $\int_{ }^{ }\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt[3]{x+1}}$ 可得：

$\int_{ }^{ }\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt[3]{x+1}}=\int_{ }^{ }\frac{1}{1+t}\cdot3t^2dt$

$=3\int_{ }^{ }\frac{t^2}{1+t}dt=3\int_{ }^{ }\frac{t^2-1+1}{1+t}dt$

$=3\int_{ }^{ }\frac{\left(1+t\right)\left(t-1\right)+1}{1+t}dt=3\int_{ }^{ }\left(t-1\right)+\frac{1}{1+t}dt$

$=\frac{3}{2}\left(t-1\right)^2+3\ln\left|t+1\right|+C$ .

将 $\sqrt[3]{x+1}=t$ 代入可得：

$=\frac{3}{2}\left(\sqrt[3]{x+1}-1\right)^2+3\ln\left|\sqrt[3]{x+1}+1\right|+C$

$C$ 是任意常数.

解析

步骤 1：变量代换
令$\sqrt [3]{x+1}=t$，则$x=t^3-1$，$dx=3t^2dt$。代入原积分可得：
$\int \dfrac {dx}{1+\sqrt [3]{x+1}}=\int \dfrac {1}{1+t}\cdot 3t^2dt$。
步骤 2：化简积分
$3\int \dfrac {t^2}{1+t}dt=3\int \dfrac {t^2-1+1}{1+t}dt$。
步骤 3：分部积分
$3\int \dfrac {(1+t)(t-1)+1}{1+t}dt=3\int (t-1)+\dfrac {1}{1+t}dt$。
步骤 4：计算积分
$=\dfrac {3}{2}{(t-1)}^{2}+3\ln |t+1|+C$。
步骤 5：回代变量
将$\sqrt [3]{x+1}=t$代入可得：
$=\dfrac {3}{2}{(\sqrt [3]{x+1}-1)}^{2}+3\ln |\sqrt [3]{x+1}+1|+C$。